安徽师范大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2．设函数 $\displaystyle f(x)$ 在 $R$ 上可导，且 $\displaystyle f^{\prime}(x)$ 单调，证明：$\displaystyle f^{\prime}(x)$ 在 $R$ 上连续．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：假设单调性
设 $f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调，不妨设单调递增（若单调递减，考虑 $-f(x)$ 即可）。
提示：注意单调递减情况可通过取负转化为单调递增。
步骤 2/5
目标：确定极限存在性
对任意 $x_0 \in \mathbb{R}$，由于 $f'(x)$ 单调递增，故对 $x > x_0$ 有 $f'(x_0) \leq f'(x)$，对 $x < x_0$ 有 $f'(x) \leq f'(x_0)$。因此左极限 $\lim_{x \to x_0^-} f'(x)$ 和右极限 $\lim_{x \to x_0^+} f'(x)$ 存在（可能为无穷，但由可导性知 $f'(x_0)$ 有限，故极限有限），且满足
\[
\lim_{x \to x_0^-} f'(x) \leq f'(x_0) \leq \lim_{x \to x_0^+} f'(x).
\]
提示：单调函数在每点都有左右极限（可能为无穷），但导数存在保证了极限有限。
步骤 3/5
目标：利用拉格朗日中值定理求右极限
由导数定义，$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$。考虑 $h>0$，由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_h \in (x_0, x_0+h)$，使得
\[
\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f'(\xi_h).
\]
当 $h \to 0^+$ 时，$\xi_h \to x_0^+$，且 $f'(\xi_h) \to \lim_{x \to x_0^+} f'(x)$（因为单调函数在每点有极限，且 $\xi_h$ 趋于 $x_0$ 时，$f'(\xi_h)$ 趋于右极限）。因此
\[
f'(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} f'(\xi_h) = \lim_{x \to x_0^+} f'(x).
\]
公式：拉格朗日中值定理：$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)$，其中 $\xi \in (a,b)$
提示：注意 $\xi_h$ 依赖于 $h$，且当 $h\to0^+$ 时 $\xi_h\to x_0^+$，利用单调性保证极限等于右极限。
步骤 4/5
目标：利用拉格朗日中值定理求左极限
类似地，考虑 $h<0$，存在 $\eta_h \in (x_0+h, x_0)$，使得
\[
\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} = f'(\eta_h),
\]
令 $h \to 0^-$，得 $f'(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} f'(x)$。
公式：拉格朗日中值定理
提示：注意 $h<0$ 时 $\eta_h \in (x_0+h, x_0)$，且 $h\to0^-$ 时 $\eta_h\to x_0^-$。
步骤 5/5
目标：得出连续性结论
因此，左右极限均等于 $f'(x_0)$，故 $\lim_{x \to x_0} f'(x) = f'(x_0)$，即 $f'(x)$ 在 $x_0$ 处连续。由 $x_0$ 的任意性，$f'(x)$ 在 $\mathbb{R}$ 上连续。
提示：连续性定义：极限值等于函数值。
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