安徽师范大学 2024年数学分析第5题
📝 题目
5．对 $\displaystyle a \in R$ ，记 $\displaystyle a^{+}=\max \{a, 0\}, a^{-}=\max \{-a, 0\}$ ．
证明：
（1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 绝对收敛当且仅当 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{+}$与 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{-}$均收敛；
（2）证明：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}$ 条件收敛，则 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{+}=\sum_{n=1}^{\infty} u_{n}^{-}=+\infty$ 。该命题的逆命题是否正确？若是，请给出证明，若否，请给出反例．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：定义正部与负部
对于任意实数 $a$，定义 $a^+ = \max\{a, 0\}$，$a^- = \max\{-a, 0\}$。注意 $a^+ \geq 0$，$a^- \geq 0$，且 $a = a^+ - a^-$，$|a| = a^+ + a^-$。
公式：$a = a^+ - a^-$，$|a| = a^+ + a^-$
提示：注意 $a^+$ 和 $a^-$ 非负，且至少一个为零。
步骤 2/5
目标：证明(1)的充分性
若 $\sum_{n=1}^\infty u_n$ 绝对收敛，即 $\sum_{n=1}^\infty |u_n|$ 收敛。由于 $0 \leq u_n^+ \leq |u_n|$ 且 $0 \leq u_n^- \leq |u_n|$，由比较判别法，$\sum u_n^+$ 和 $\sum u_n^-$ 均收敛。
公式：比较判别法
提示：注意 $u_n^+$ 和 $u_n^-$ 非负，可直接应用比较判别法。
步骤 3/5
目标：证明(1)的必要性
若 $\sum u_n^+$ 和 $\sum u_n^-$ 均收敛，则 $\sum |u_n| = \sum (u_n^+ + u_n^-)$ 收敛，故 $\sum u_n$ 绝对收敛。
公式：$|u_n| = u_n^+ + u_n^-$
提示：收敛级数之和仍收敛。
步骤 4/5
目标：证明(2)中正部与负部发散
设 $\sum u_n$ 条件收敛，即 $\sum u_n$ 收敛但 $\sum |u_n|$ 发散。由(1)知，$\sum u_n^+$ 和 $\sum u_n^-$ 不能同时收敛。若其中一个收敛，比如 $\sum u_n^+$ 收敛，则 $\sum u_n^- = \sum (u_n^+ - u_n)$ 收敛（因为 $\sum u_n$ 收敛），矛盾。同理，若 $\sum u_n^-$ 收敛，则 $\sum u_n^+$ 收敛，矛盾。因此两者均发散。由于 $u_n^+ \geq 0$，发散意味着和为正无穷，即 $\sum u_n^+ = +\infty$，同理 $\sum u_n^- = +\infty$。
公式：$u_n^- = u_n^+ - u_n$
提示：利用收敛级数的线性性质，注意 $u_n^+$ 和 $u_n^-$ 非负，发散只能趋向正无穷。
步骤 5/5
目标：讨论逆命题并给出反例
逆命题：若 $\sum u_n^+ = \sum u_n^- = +\infty$，则 $\sum u_n$ 条件收敛。该命题不真。反例：取 $u_n = (-1)^n$，则 $u_n^+ = 1$ 当 $n$ 为偶数，$u_n^+ = 0$ 当 $n$ 为奇数，故 $\sum u_n^+ = +\infty$；类似 $\sum u_n^- = +\infty$。但 $\sum u_n$ 的部分和振荡，不收敛，故不是条件收敛。
提示：条件收敛要求级数本身收敛，而反例中 $\sum (-1)^n$ 发散。
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