安徽师范大学 2024年数学分析第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle E \subset R^{2}$ ，且 $\displaystyle \operatorname{int} E \neq \varnothing$ ，记 $\displaystyle \mathcal{B}=\{B \subset E \mid B$ 为开集 $\displaystyle \}$ ．证明： $\displaystyle \operatorname{int} E$ 为开集，且 $\displaystyle \operatorname{int} E=\bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$.
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明 int E 是开集
设 $x \in \operatorname{int} E$，由内点定义，存在 $r>0$ 使得开球 $B(x,r) \subset E$。由于开球是开集，且 $B(x,r) \subset E$，故 $B(x,r)$ 中的每一点都是 $E$ 的内点，即 $B(x,r) \subset \operatorname{int} E$。因此 $x$ 是 $\operatorname{int} E$ 的内点，所以 $\operatorname{int} E$ 是开集。
提示：注意内点定义：存在开球完全包含在 $E$ 中。
步骤 2/4
目标：证明并集包含于 int E
对任意 $B \in \mathcal{B}$，$B$ 是开集且 $B \subset E$。对任意 $y \in B$，由于 $B$ 是开集，存在 $\delta>0$ 使得 $B(y,\delta) \subset B \subset E$，故 $y$ 是 $E$ 的内点，即 $y \in \operatorname{int} E$。因此 $B \subset \operatorname{int} E$，从而 $\bigcup_{B \in \mathcal{B}} B \subset \operatorname{int} E$。
提示：注意开集的定义：每一点都有开球包含在集合内。
步骤 3/4
目标：证明 int E 包含于并集
对任意 $x \in \operatorname{int} E$，由内点定义，存在 $r>0$ 使得 $B(x,r) \subset E$。由于 $B(x,r)$ 是开集，故 $B(x,r) \in \mathcal{B}$，且 $x \in B(x,r)$，因此 $x \in \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$。所以 $\operatorname{int} E \subset \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$。
提示：注意开球是开集，因此属于 $\mathcal{B}$。
步骤 4/4
目标：得出相等结论
由步骤2和步骤3，有 $\bigcup_{B \in \mathcal{B}} B \subset \operatorname{int} E$ 且 $\operatorname{int} E \subset \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$，因此 $\operatorname{int} E = \bigcup_{B \in \mathcal{B}} B$。
提示：集合相等需证明双向包含。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。