安徽师范大学 2024年数学分析第7题

要证明 $f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，即证 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y) = f(0,0)=0$。利用不等式 $|\sin(xy)| \leq |xy|$，有 $$|f(x,y)| = \left|\frac{(x+y)\sin(xy)}{x^2+y^2}\right| \leq \frac{|x+y|\cdot|xy|}{x^2+y^2}.$$ 又 $|x+y| \leq \sqrt{2(x^2+y^2)}$，$|xy| \leq \frac{x^2+y^2}{2}$，所以 $$|f(x,y)| \leq \frac{\sqrt{2(x^2+y^2)}\cdot \frac{x^2+y^2}{2}}{x^2+y^2} = \frac{\sqrt{2}}{2}\sqrt{x^2+y^2} \to 0 \quad ((x,y)\to(0,0)).$$ 因此 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0$，$f$ 在 $(0,0)$ 处连续。

设方向向量 $\mathbf{l}=(\cos\theta,\sin\theta)$，方向导数为 $$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(t\cos\theta, t\sin\theta)-f(0,0)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{(t\cos\theta+t\sin\theta)\sin(t^2\cos\theta\sin\theta)}{t(t^2\cos^2\theta+t^2\sin^2\theta)} = \lim_{t\to 0} \frac{(\cos\theta+\sin\theta)\sin(t^2\cos\theta\sin\theta)}{t^2}.$$ 由于 $\sin(u) \sim u$ 当 $u\to 0$，所以 $$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{l}}(0,0) = \lim_{t\to 0} \frac{(\cos\theta+\sin\theta)\cdot t^2\cos\theta\sin\theta}{t^2} = (\cos\theta+\sin\theta)\cos\theta\sin\theta.$$ 因此沿任意方向的方向导数都存在。

先求偏导数：$$f_x(0,0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h\sin 0}{h^3} = 0,$$ 同理 $f_y(0,0)=0$。

若 $f$ 在 $(0,0)$ 处可微，则全微分 $df = f_x(0,0)dx + f_y(0,0)dy = 0$，且 $$\Delta f = f(x,y)-f(0,0) = 0\cdot x + 0\cdot y + o(\sqrt{x^2+y^2}),$$ 即 $$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}} = 0.$$

取路径 $y=x$，则 $$f(x,x) = \frac{2x\sin(x^2)}{2x^2} = \frac{\sin(x^2)}{x},$$ 所以 $$\frac{f(x,x)}{\sqrt{2x^2}} = \frac{\sin(x^2)}{\sqrt{2}x|x|} \sim \frac{x^2}{\sqrt{2}x|x|} = \frac{|x|}{\sqrt{2}} \to 0 \quad (x\to 0).$$ 此路径极限为0，但需找极限不为0的路径。考虑路径 $y=kx$，则当 $x\to 0$ 时，$$f(x,kx) \sim \frac{(x+kx)\cdot kx^2}{x^2+k^2x^2} = \frac{k(1+k)}{1+k^2}x,$$ 所以 $$\frac{f(x,kx)}{\sqrt{x^2+k^2x^2}} \sim \frac{k(1+k)}{1+k^2}\cdot \frac{x}{|x|\sqrt{1+k^2}} = \frac{k(1+k)}{(1+k^2)^{3/2}}\cdot \frac{x}{|x|}.$$ 取 $k=1$，则系数为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，因此当 $x\to 0^+$ 时极限为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$，当 $x\to 0^-$ 时极限为 $-\frac{1}{\sqrt{2}}$，故极限不存在。因此 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{f(x,y)}{\sqrt{x^2+y^2}}$ 不存在，与可微必要条件矛盾，故 $f$ 在 $(0,0)$ 处不可微。

综上，$f(x,y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，沿任意方向的方向导数都存在，但不可微。