安徽师范大学 2024年数学分析第8题
📝 题目
8．确定正数 $\displaystyle \lambda$ ，使得曲面 $\displaystyle x y z=\lambda$ 与椭球面 $\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1$ 在某一点相切（即在该点有公共切平面）．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：设切点并写出曲面方程
设两曲面在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 相切，则该点同时满足两曲面方程：
$$x_0 y_0 z_0 = \lambda, \quad \frac{x_0^2}{a^2} + \frac{y_0^2}{b^2} + \frac{z_0^2}{c^2} = 1.$$
提示：注意切点坐标必须同时满足两个方程，这是后续推导的基础。
步骤 2/8
目标：计算两曲面的法向量
曲面 $xyz = \lambda$ 在点 $(x_0, y_0, z_0)$ 的法向量为梯度：
$$\nabla(xyz) = (y_0 z_0, x_0 z_0, x_0 y_0).$$
椭球面 $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2} = 1$ 的法向量为：
$$\nabla\left(\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} + \frac{z^2}{c^2}\right) = \left(\frac{2x_0}{a^2}, \frac{2y_0}{b^2}, \frac{2z_0}{c^2}\right).$$
提示：法向量由梯度得到，注意椭球面方程需先化为标准形式。
步骤 3/8
目标：由法向量平行建立关系
两曲面相切意味着法向量平行，故存在非零常数 $k$ 使得：
$$y_0 z_0 = k \frac{2x_0}{a^2}, \quad x_0 z_0 = k \frac{2y_0}{b^2}, \quad x_0 y_0 = k \frac{2z_0}{c^2}.$$
提示：注意法向量平行但方向可能相反，因此 $k$ 可正可负，但本题中 $\lambda>0$，可确定 $k>0$。
步骤 4/8
目标：利用平行关系消去参数
将三个等式相乘得：
$$(x_0 y_0 z_0)^2 = 8k^3 \frac{x_0 y_0 z_0}{a^2 b^2 c^2},$$
即 $x_0 y_0 z_0 = \frac{8k^3}{a^2 b^2 c^2}$（因为 $x_0 y_0 z_0 \neq 0$）。
提示：相乘时注意系数，避免漏掉因子。
步骤 5/8
目标：用 $k$ 和 $\lambda$ 表示坐标平方
由第一式 $y_0 z_0 = \frac{2k x_0}{a^2}$ 代入 $x_0 y_0 z_0 = \lambda$ 得：
$$x_0 \cdot \frac{2k x_0}{a^2} = \lambda \Rightarrow x_0^2 = \frac{\lambda a^2}{2k}.$$
同理可得：
$$y_0^2 = \frac{\lambda b^2}{2k}, \quad z_0^2 = \frac{\lambda c^2}{2k}.$$
提示：注意 $x_0, y_0, z_0$ 非零，否则无法相切。
步骤 6/8
目标：代入椭球面方程求 $k$
将 $x_0^2, y_0^2, z_0^2$ 代入椭球面方程：
$$\frac{1}{a^2} \cdot \frac{\lambda a^2}{2k} + \frac{1}{b^2} \cdot \frac{\lambda b^2}{2k} + \frac{1}{c^2} \cdot \frac{\lambda c^2}{2k} = 1,$$
即 $\frac{3\lambda}{2k} = 1$，解得 $k = \frac{3\lambda}{2}$。
提示：代入时注意约分，避免计算错误。
步骤 7/8
目标：利用 $x_0 y_0 z_0 = \lambda$ 求 $\lambda$
由 $x_0 y_0 z_0 = \lambda$ 及坐标平方表达式得：
$$\sqrt{\frac{\lambda a^2}{2k} \cdot \frac{\lambda b^2}{2k} \cdot \frac{\lambda c^2}{2k}} = \lambda,$$
即 $\frac{\lambda^{3/2} abc}{(2k)^{3/2}} = \lambda$，整理得 $\lambda^{1/2} abc = (2k)^{3/2}$。
代入 $k = \frac{3\lambda}{2}$ 得：
$$\lambda^{1/2} abc = \left(2 \cdot \frac{3\lambda}{2}\right)^{3/2} = (3\lambda)^{3/2} = 3^{3/2} \lambda^{3/2},$$
两边除以 $\lambda^{1/2}$（$\lambda>0$）得 $abc = 3^{3/2} \lambda$，故 $\lambda = \frac{abc}{3^{3/2}} = \frac{abc}{3\sqrt{3}}$。
提示：开方时注意正负，由于 $\lambda>0$，取正根。
步骤 8/8
目标：给出最终答案
因此，所求正数 $\lambda$ 为：
$$\boxed{\lambda = \frac{abc}{3\sqrt{3}}}.$$
提示：最终答案需化简，分母有理化。
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