安徽师范大学 2024年数学分析第9题
📝 题目
9．求积分 $\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{x^{3}-x}{\ln x} d x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：引入参数化积分
考虑含参积分 $I(a) = \int_0^1 \frac{x^a - x}{\ln x} \, dx$，则所求积分为 $I(3)$。
提示：注意分母 $\ln x$ 在 $x=0$ 处发散，但分子 $x^a - x$ 趋于0，积分收敛。
步骤 2/7
目标：对参数求导
对 $a$ 求导，交换积分与求导顺序：$I'(a) = \int_0^1 \frac{\partial}{\partial a} \frac{x^a - x}{\ln x} \, dx = \int_0^1 \frac{x^a \ln x}{\ln x} \, dx = \int_0^1 x^a \, dx$。
公式：$\frac{\partial}{\partial a} x^a = x^a \ln x$
提示：交换次序需验证一致收敛性，此处被积函数在 $[0,1]$ 上连续且积分一致收敛。
步骤 3/7
目标：计算导数的积分
计算 $\int_0^1 x^a \, dx = \left. \frac{x^{a+1}}{a+1} \right|_0^1 = \frac{1}{a+1}$，其中 $a > -1$。
公式：$\int x^a \, dx = \frac{x^{a+1}}{a+1} + C$
提示：注意 $a+1 \neq 0$，此处 $a=3$ 满足条件。
步骤 4/7
目标：积分求原函数
对 $I'(a) = \frac{1}{a+1}$ 积分得 $I(a) = \ln(a+1) + C$，其中 $C$ 为常数。
公式：$\int \frac{1}{a+1} \, da = \ln|a+1| + C$
提示：由于 $a > -1$，绝对值可去掉。
步骤 5/7
目标：确定常数
利用已知条件 $I(1) = \int_0^1 \frac{x - x}{\ln x} \, dx = 0$，代入得 $0 = \ln(1+1) + C = \ln 2 + C$，所以 $C = -\ln 2$。
提示：注意 $I(1)$ 的被积函数恒为0，积分结果为0。
步骤 6/7
目标：得到参数化积分表达式
因此 $I(a) = \ln(a+1) - \ln 2 = \ln\frac{a+1}{2}$。
步骤 7/7
目标：代入参数求值
令 $a=3$，得 $I(3) = \ln(3+1) - \ln 2 = \ln 4 - \ln 2 = \ln 2$。
公式：$\ln 4 = 2\ln 2$
提示：注意对数运算性质。
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