安徽师范大学 2024年数学分析第10题
📝 题目
10．设 $\displaystyle u(x, y)$ 在 $\displaystyle D=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4} \leq 1\right.\right\}$ 上具有二阶连续偏导数，证明：
$\displaystyle \iint_{D}\left(\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}\right) d \sigma=\oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} d s$ ，其中 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial n}$ 是 $\displaystyle u(x, y)$ 沿着 $\displaystyle \partial D$ 外法线方向 $n$ 的方向导数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：应用格林定理或散度定理
考虑向量场 $\mathbf{F} = (P, Q)$，其中 $P = \frac{\partial u}{\partial x}$，$Q = \frac{\partial u}{\partial y}$。由散度定理（二维形式）：
$$\iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) d\sigma = \oint_{\partial D} (P \, dy - Q \, dx)$$
公式：$$\iint_D \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} \right) d\sigma = \oint_{\partial D} (P \, dy - Q \, dx)$$
提示：注意散度定理的二维形式与格林定理的关系，此处使用散度定理更直接。
步骤 2/6
目标：代入P和Q得到左端积分
计算散度：
$$\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right) + \frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2}$$
因此左端积分等于 $\iint_D \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) d\sigma$。
提示：确保二阶偏导数存在且连续，以便交换求导顺序。
步骤 3/6
目标：得到右端曲线积分表达式
代入 $P$ 和 $Q$ 到右端曲线积分：
$$\oint_{\partial D} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \, dy - \frac{\partial u}{\partial y} \, dx \right)$$
提示：注意符号：格林定理中通常为 $Pdx+Qdy$，但散度定理形式为 $Pdy - Qdx$。
步骤 4/6
目标：将曲线积分转化为外法向导数形式
设边界 $\partial D$ 的参数方程为 $(x(s), y(s))$，其中 $s$ 为弧长参数，逆时针方向。外法线方向 $\mathbf{n}$ 的方向余弦为 $(\cos\alpha, \cos\beta)$，且满足 $\cos\alpha = \frac{dy}{ds}$，$\cos\beta = -\frac{dx}{ds}$（因为外法线垂直于切向量且指向外侧）。方向导数：
$$\frac{\partial u}{\partial n} = \frac{\partial u}{\partial x} \cos\alpha + \frac{\partial u}{\partial y} \cos\beta = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dy}{ds} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dx}{ds}$$
公式：$$\frac{\partial u}{\partial n} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dy}{ds} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dx}{ds}$$
提示：注意外法线方向与切向量的关系：若切向量为 $(dx, dy)$，则外法线为 $(dy, -dx)$ 或 $(-dy, dx)$，需根据定向确定符号。
步骤 5/6
目标：将方向导数沿边界积分
沿边界积分：
$$\oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} \, ds = \oint_{\partial D} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \frac{dy}{ds} - \frac{\partial u}{\partial y} \frac{dx}{ds} \right) ds = \oint_{\partial D} \left( \frac{\partial u}{\partial x} \, dy - \frac{\partial u}{\partial y} \, dx \right)$$
提示：注意 $ds$ 是弧长微元，与参数 $s$ 一致。
步骤 6/6
目标：结合步骤2和步骤5得出结论
由步骤2和步骤5，得到：
$$\iint_D \left( \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} \right) d\sigma = \oint_{\partial D} \frac{\partial u}{\partial n} \, ds$$
证毕。
提示：确保所有积分存在且边界光滑，题目中区域为椭圆，边界光滑。
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