山西师范大学 2024年数学分析第1题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left[(n+1)^{\alpha}-n^{\alpha}\right], 0<\alpha<1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别极限形式与参数范围
题目要求计算极限 $\lim_{n \to \infty} [(n+1)^\alpha - n^\alpha]$，其中 $0 < \alpha < 1$。当 $n$ 很大时，$(n+1)^\alpha$ 与 $n^\alpha$ 非常接近，直接相减属于“$\infty - \infty$”型不定式，需要借助微分中值定理或代数变形处理。
提示：注意 $\alpha$ 在0到1之间，指数小于1，函数增长较慢。
步骤 2/5
目标：应用拉格朗日中值定理
考虑函数 $f(x) = x^\alpha$，它在区间 $[n, n+1]$ 上连续且可导。由拉格朗日中值定理，存在 $\xi_n \in (n, n+1)$，使得
\[
f(n+1)-f(n) = f'(\xi_n) \cdot ((n+1)-n) = f'(\xi_n).
\]
计算导数：$f'(x) = \alpha x^{\alpha-1}$，因此
\[
(n+1)^\alpha - n^\alpha = \alpha \xi_n^{\alpha-1}, \quad \xi_n \in (n, n+1).
\]
公式：$(n+1)^\alpha - n^\alpha = \alpha \xi_n^{\alpha-1}$
提示：中值定理将差值转化为导数值，注意 $\xi_n$ 依赖于 $n$。
步骤 3/5
目标：估计 $\xi_n^{\alpha-1}$ 的极限
由于 $\alpha - 1 < 0$，当 $\xi_n \to \infty$ 时，$\xi_n^{\alpha-1} \to 0$。又因为 $n < \xi_n < n+1$，且指数 $\alpha-1$ 为负，所以有
\[
n^{\alpha-1} > \xi_n^{\alpha-1} > (n+1)^{\alpha-1}.
\]
当 $n \to \infty$ 时，$n^{\alpha-1} \to 0$，$(n+1)^{\alpha-1} \to 0$，由夹逼定理得 $\xi_n^{\alpha-1} \to 0$。
公式：$n^{\alpha-1} > \xi_n^{\alpha-1} > (n+1)^{\alpha-1}$
提示：注意指数为负时不等式方向反转，夹逼定理适用。
步骤 4/5
目标：得出极限值
由前两步，
\[
\lim_{n \to \infty} [(n+1)^\alpha - n^\alpha] = \lim_{n \to \infty} \alpha \xi_n^{\alpha-1} = \alpha \cdot 0 = 0.
\]
公式：$\lim_{n\to\infty} [(n+1)^\alpha - n^\alpha] = 0$
提示：最终结果与 $\alpha$ 的具体值无关，只要 $0<\alpha<1$。
步骤 5/5
目标：另一种方法：二项式展开近似
将原式改写为
\[
(n+1)^\alpha - n^\alpha = n^\alpha \left[ \left(1+\frac{1}{n}\right)^\alpha - 1 \right].
\]
当 $n$ 很大时，利用 $(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$（$x \to 0$），得
\[
\left(1+\frac{1}{n}\right)^\alpha - 1 \approx \frac{\alpha}{n}.
\]
因此
\[
n^\alpha \cdot \frac{\alpha}{n} = \alpha n^{\alpha-1} \to 0 \quad (n \to \infty).
\]
公式：$(1+\frac{1}{n})^\alpha \approx 1 + \frac{\alpha}{n}$
提示：此方法需注意近似是渐近的，严格证明需用泰勒展开或中值定理。
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