山西师范大学 2024年数学分析第2题
📝 题目
2．求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{a_{1}^{x}+a_{2}^{x}+\cdots+a_{n}^{x}}{n}\right)^{\frac{n}{x}}, \quad a_{i}>0, i=1,2, \cdots, n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：取对数转化为指数函数的极限
设 $L = \lim_{x \to 0} \left( \frac{a_1^x + a_2^x + \cdots + a_n^x}{n} \right)^{\frac{n}{x}}$，两边取自然对数得 $\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{n}{x} \ln \left( \frac{a_1^x + a_2^x + \cdots + a_n^x}{n} \right)$。
公式：$\ln L = \lim_{x \to 0} \frac{n}{x} \ln \left( \frac{a_1^x + a_2^x + \cdots + a_n^x}{n} \right)$
提示：幂指函数求极限时，取对数是常用技巧，注意极限存在的条件下才能交换运算顺序。
步骤 2/5
目标：利用指数函数展开分析底数行为
当 $x \to 0$ 时，$a_i^x = e^{x \ln a_i} = 1 + x \ln a_i + \frac{x^2}{2} (\ln a_i)^2 + O(x^3)$，因此 $\frac{a_1^x + a_2^x + \cdots + a_n^x}{n} = 1 + \frac{x}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i + O(x^2)$。
公式：$\frac{a_1^x + a_2^x + \cdots + a_n^x}{n} = 1 + \frac{x}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i + O(x^2)$
提示：注意 $O(x^2)$ 表示高阶无穷小，展开到一阶即可。
步骤 3/5
目标：对对数进行泰勒展开
令 $t = \frac{x}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i + O(x^2)$，则当 $x \to 0$ 时 $t \to 0$，利用 $\ln(1+t) = t - \frac{t^2}{2} + \cdots$，得 $\ln\left( \frac{a_1^x + \cdots + a_n^x}{n} \right) = \frac{x}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i + O(x^2)$。
公式：$\ln\left( \frac{a_1^x + \cdots + a_n^x}{n} \right) = \frac{x}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i + O(x^2)$
提示：对数展开时，确保 $t$ 趋于0，且保留到与分母同阶的项。
步骤 4/5
目标：代入极限表达式并求值
将展开式代入 $\ln L$ 的表达式：$\frac{n}{x} \ln\left( \frac{a_1^x + \cdots + a_n^x}{n} \right) = \frac{n}{x} \left( \frac{x}{n} \sum_{i=1}^n \ln a_i + O(x^2) \right) = \sum_{i=1}^n \ln a_i + O(x)$，当 $x \to 0$ 时，$O(x) \to 0$，故 $\ln L = \sum_{i=1}^n \ln a_i = \ln(a_1 a_2 \cdots a_n)$。
公式：$\ln L = \sum_{i=1}^n \ln a_i = \ln(a_1 a_2 \cdots a_n)$
提示：注意 $O(x)$ 项在取极限时消失，最终结果由主项决定。
步骤 5/5
目标：还原为原极限结果
由 $\ln L = \ln(a_1 a_2 \cdots a_n)$ 得 $L = e^{\ln(a_1 a_2 \cdots a_n)} = a_1 a_2 \cdots a_n$。
公式：$L = a_1 a_2 \cdots a_n$
提示：取对数后结果要还原，注意指数运算的逆运算。
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