湖南大学 2025年数学分析第5题
📝 题目
5．讨论 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin n x}{n^{p}}(p \in \mathbb{R})$ 的敛散性．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：讨论绝对收敛性
考虑级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \left| \frac{\sin(nx)}{n^p} \right|$。由于 $|\sin(nx)| \le 1$，有 $\left| \frac{\sin(nx)}{n^p} \right| \le \frac{1}{n^p}$。当 $p>1$ 时，$\sum \frac{1}{n^p}$ 收敛，由比较判别法知原级数绝对收敛。当 $p \le 1$ 时，该比较失效，需进一步分析。
公式：$\left| \frac{\sin(nx)}{n^p} \right| \le \frac{1}{n^p}$
提示：注意 $p>1$ 时绝对收敛对任意 $x$ 成立，无需考虑 $x$ 的特殊值。
步骤 2/6
目标：讨论 $p=1$ 时的收敛性
级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}$。当 $x = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）时，$\sin(nx)=0$，级数收敛于0。当 $x \neq k\pi$ 时，由 Dirichlet 判别法：部分和 $\sum_{k=1}^n \sin(kx)$ 有界（可利用和差化积公式），而 $\frac{1}{n}$ 单调递减趋于0，故级数条件收敛。因此 $p=1$ 时对所有 $x$ 收敛。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sin(nx)}{n}$ 条件收敛（$x \neq k\pi$）
提示：注意 $x=2m\pi$ 时 $\sin(nx)=0$，也属于 $x=k\pi$ 情形。
步骤 3/6
目标：讨论 $0
当 $x=2m\pi$ 时，$\sin(nx)=0$，级数收敛于0。当 $x \neq 2m\pi$ 时，部分和 $\sum_{k=1}^n \sin(kx)$ 有界（因为 $\sin\frac{x}{2} \neq 0$ 时，$\sum_{k=1}^n \sin(kx) = \frac{\sin\frac{nx}{2} \sin\frac{(n+1)x}{2}}{\sin\frac{x}{2}}$），而 $\frac{1}{n^p}$ 单调递减趋于0，由 Dirichlet 判别法知级数收敛（条件收敛）。
公式：$\left| \sum_{k=1}^n \sin(kx) \right| \le \frac{1}{|\sin(x/2)|}$（$x \neq 2m\pi$）
提示：Dirichlet 判别法要求部分和有界且通项单调趋于0，这里 $0
步骤 4/6
目标：讨论 $p=0$ 时的收敛性
级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin(nx)$。当 $x=2m\pi$ 时，$\sin(nx)=0$，级数收敛于0。当 $x \neq 2m\pi$ 时，通项 $\sin(nx)$ 不趋于0（振荡），故级数发散。
公式：$\sum_{n=1}^{\infty} \sin(nx)$ 发散（$x \neq 2m\pi$）
提示：注意 $x=\pi$ 时 $\sin(n\pi)=0$，但 $\pi$ 不是 $2\pi$ 的整数倍？实际上 $\sin(n\pi)=0$ 对所有整数 $n$ 成立，所以 $x=\pi$ 时级数也收敛，但 $\pi = 1\cdot\pi$，属于 $x=k\pi$ 情形，需在下一步统一处理。
步骤 5/6
目标：讨论 $p<0$ 时的收敛性
设 $p=-q$，$q>0$，通项为 $n^q \sin(nx)$。当 $x=k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$）时，$\sin(nx)=0$，级数收敛于0。当 $x \neq k\pi$ 时，存在无穷多个 $n$ 使得 $|\sin(nx)| > c > 0$，则 $|n^q \sin(nx)| \to \infty$，通项不趋于0，级数发散。
公式：$\lim_{n\to\infty} n^q \sin(nx) \neq 0$（$x \neq k\pi$）
提示：注意 $p<0$ 时通项无界，发散是显然的，仅当 $\sin(nx)$ 恒为0时才收敛。
步骤 6/6
目标：综合所有情况，给出完整结论
将 $p=0$ 和 $p<0$ 合并：当 $p \le 0$ 时，级数收敛当且仅当 $x = k\pi$（$k \in \mathbb{Z}$），此时各项为0；否则发散。当 $0 < p \le 1$ 时，对任意实数 $x$ 级数收敛（$x=2k\pi$ 时和为0，否则条件收敛）。当 $p > 1$ 时，对任意实数 $x$ 绝对收敛。
公式：无
提示：注意 $p=0$ 时 $x=\pi$ 也收敛，因此统一为 $x=k\pi$。
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