湖南大学 2025年数学分析第6题
📝 题目
6．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a, b)$ 上可导，任取 $\displaystyle x_{1}, x_{2} \in(a, b)$ ，满足 $\displaystyle f^{\prime}\left(x_{1}\right) f^{\prime}\left(x_{2}\right)<0$ ．证明：至少存在一点 $\displaystyle \xi$ 介于 $\displaystyle x_{1}, x_{2}$之间，使得 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解条件并设定符号
已知对任意 $x_1, x_2 \in (a, b)$，有 $f'(x_1) f'(x_2) < 0$，这意味着 $f'(x_1)$ 与 $f'(x_2)$ 异号。不妨设 $f'(x_1) > 0$，$f'(x_2) < 0$（若相反，证明过程完全对称）。
公式：f'(x_1) > 0, \quad f'(x_2) < 0
提示：注意乘积为负是严格不等式，因此导数不可能为零，只能一正一负。
步骤 2/4
目标：引入达布定理（导数的介值定理）
由于 $f$ 在 $(a, b)$ 上可导，则 $f'$ 在任意闭子区间上具有介值性。达布定理指出：若 $f$ 在 $[p, q]$ 上可导，则对任意介于 $f'(p)$ 与 $f'(q)$ 之间的数 $c$，存在 $\xi \in (p, q)$ 使得 $f'(\xi) = c$。
公式：\forall c \in (f'(p), f'(q)) \text{ 或 } (f'(q), f'(p)), \exists \xi \in (p, q) \text{ 使得 } f'(\xi) = c
提示：达布定理不要求导函数连续，只要求原函数可导。
步骤 3/4
目标：构造闭区间并应用达布定理
令 $p = \min(x_1, x_2)$，$q = \max(x_1, x_2)$，则 $f$ 在 $[p, q]$ 上可导（因为 $(a, b)$ 可导）。由第一步，$f'(p)$ 与 $f'(q)$ 异号，因此 $0$ 介于 $f'(p)$ 与 $f'(q)$ 之间。根据达布定理，存在 $\xi \in (p, q)$ 使得 $f'(\xi) = 0$。
公式：\xi \in (p, q), \quad f'(\xi) = 0
提示：注意 $p$ 和 $q$ 是 $x_1$ 和 $x_2$ 中较小和较大的值，$\xi$ 严格介于它们之间。
步骤 4/4
目标：结论
因此，无论 $x_1 < x_2$ 还是 $x_2 < x_1$，总存在介于 $x_1$ 与 $x_2$ 之间的点 $\xi$，使得 $f'(\xi) = 0$。命题得证。
公式：\exists \xi \text{ 介于 } x_1, x_2 \text{ 之间，使得 } f'(\xi) = 0
提示：本题的关键是达布定理的应用，无需构造辅助函数。
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