湖南大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{k \pi}{n}}{n+\frac{k}{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：改写原和式，提取因子1/n
原极限为 \(\displaystyle \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{k\pi}{n}}{n+\frac{k}{n}}\)。将分母改写：\(n+\frac{k}{n}=n\left(1+\frac{k}{n^2}\right)\)，于是和式变为 \(\displaystyle \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{k\pi}{n}}{n\left(1+\frac{k}{n^2}\right)} = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{k\pi}{n}}{1+\frac{k}{n^2}}\)。
公式：\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{k\pi}{n}}{1+\frac{k}{n^2}}
提示：注意分母提取公因子n时，要确保变形正确，避免符号错误。
步骤 2/5
目标：分析分母中微小项的行为
当 \(n\) 很大时，\(\frac{k}{n^2} \leq \frac{1}{n}\)，因此 \(1+\frac{k}{n^2}\) 趋近于1。这提示我们可以用夹逼定理处理。
公式：1 \leq 1+\frac{k}{n^2} \leq 1+\frac{1}{n}
提示：注意k的范围是1到n，所以最大值为1/n，不要误以为k/n^2可以忽略而不加证明。
步骤 3/5
目标：建立夹逼不等式
由 \(1 \leq 1+\frac{k}{n^2} \leq 1+\frac{1}{n}\) 得：
\[\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\frac{k\pi}{n} \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin\frac{k\pi}{n}}{1+\frac{k}{n^2}} \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\frac{k\pi}{n}\]
公式：\frac{1}{1+\frac{1}{n}} \cdot \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\frac{k\pi}{n} \leq S_n \leq \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\frac{k\pi}{n}
提示：夹逼时注意不等号方向，分母越大分数越小，因此下界要除以更大的数。
步骤 4/5
目标：计算定积分极限
计算 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \sin\frac{k\pi}{n} = \int_0^1 \sin(\pi x) \, dx\)。积分得：
\[\int_0^1 \sin(\pi x) \, dx = \left[-\frac{\cos(\pi x)}{\pi}\right]_0^1 = -\frac{\cos\pi}{\pi} + \frac{\cos 0}{\pi} = -\frac{-1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi}\]
公式：\int_0^1 \sin(\pi x) \, dx = \frac{2}{\pi}
提示：定积分定义中，区间[0,1]被n等分，取右端点，注意sin(πx)的积分计算要仔细。
步骤 5/5
目标：应用夹逼定理得出极限
由于 \(\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{1}{1+\frac{1}{n}} = 1\)，且上下界都趋于 \(\frac{2}{\pi}\)，由夹逼定理得原极限为 \(\frac{2}{\pi}\)。
公式：\lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{k\pi}{n}}{n+\frac{k}{n}} = \frac{2}{\pi}
提示：夹逼定理要求上下界极限相等，这里下界因子1/(1+1/n)极限为1，所以结果一致。
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