📝 湖南大学 2026年数学分析真题
第1题
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{\sin \frac{k \pi}{n}}{n+\frac{k}{n}}$ ．
第2题
2．已知 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0) f(1)>1, f^{\prime \prime}(x)>0, \int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（1）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上恰有两个零点．
（2）证明至少存在一点 $c$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(c)=\int_{0}^{c} f(x) \mathrm{d} x$ ．
（1）证明 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上恰有两个零点．
（2）证明至少存在一点 $c$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime}(c)=\int_{0}^{c} f(x) \mathrm{d} x$ ．
第4题
4．$\displaystyle f(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续，$\displaystyle g(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微，证明 $\displaystyle f(x, y) g(x, y)$ 在 $\displaystyle \left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处可微。
第5题
5．设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶连续可微，$\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ，且对任意的 $\displaystyle x \in(0,1), f(x) \neq 0$ ，证明 $\displaystyle \int_{0}^{1}\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| \mathrm{d} x>4$ ．
第6题
6．已知方程 $\displaystyle k y-\sin y+x \cos y=0, k>1$ ．
（1）对任意的 $\displaystyle |x|<k-1,|y|<+\infty$ ，能唯一确定函数 $\displaystyle y=y(x)$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ ．
（1）对任意的 $\displaystyle |x|<k-1,|y|<+\infty$ ，能唯一确定函数 $\displaystyle y=y(x)$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ ．
第7题
7．（1）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n} \sin \pi t \mathrm{~d} t=\int_{0}^{x} \frac{\sin \pi t}{1-t} \mathrm{~d} t, 0 \leq x \leq 1$ ．
（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n} \sin \pi t \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle x \in[0,1]$ 上一致收敛。
（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \int_{0}^{x} t^{n} \sin \pi t \mathrm{~d} t$ 在 $\displaystyle x \in[0,1]$ 上一致收敛。
第8题
8．有收敛级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=S$ ．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}$ ．
（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}$ 收敛，并且求其和．
9 ．求 $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: x=0, x=1, x^{2}+1=\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}$ ．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}$ ．
（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}$ 收敛，并且求其和．
9 ．求 $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: x=0, x=1, x^{2}+1=\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}$ ．