湖南大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．已知方程 $\displaystyle k y-\sin y+x \cos y=0, k>1$ ．
（1）对任意的 $\displaystyle |x|<k-1,|y|<+\infty$ ，能唯一确定函数 $\displaystyle y=y(x)$ ．
（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将方程改写为隐函数形式，并验证隐函数定理的条件
设 $F(x,y)=k y - \sin y + x \cos y = 0$。计算 $\frac{\partial F}{\partial y}=k - \cos y - x \sin y$。由于 $|x| k - k = 0$，即偏导数恒正。
公式：$\frac{\partial F}{\partial y}=k - \cos y - x \sin y > 0$
提示：注意绝对值不等式的放缩：$|\cos y| \le 1$，$|\sin y| \le 1$，且 $|x|
步骤 2/6
目标：证明存在唯一隐函数
由于 $\frac{\partial F}{\partial y}>0$，对每个固定的 $x$（满足 $|x|
公式：$F(x,y)=0$ 存在唯一解 $y=y(x)$
提示：单调性结合极限行为是证明唯一性的关键，不要遗漏 $y\to\pm\infty$ 时的极限分析。
步骤 3/6
目标：确定 $x=0$ 时的函数值
当 $x=0$ 时，方程化为 $k y - \sin y = 0$。显然 $y=0$ 是一个解。由（1）的唯一性，$y(0)=0$。
公式：$y(0)=0$
提示：代入 $x=0$ 后，注意 $\sin 0 = 0$，直接得到 $k\cdot 0 = 0$ 成立。
步骤 4/6
目标：对原方程两边关于 $x$ 求导（隐函数求导）
对 $k y - \sin y + x \cos y = 0$ 两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：$k y' - (\cos y) y' + \cos y - x (\sin y) y' = 0$。整理得 $(k - \cos y - x \sin y) y' + \cos y = 0$。
公式：$(k - \cos y - x \sin y) y' + \cos y = 0$
提示：求导时不要遗漏 $x \cos y$ 的乘积法则：$\frac{d}{dx}(x \cos y) = \cos y - x \sin y \cdot y'$。
步骤 5/6
目标：解出 $y'(x)$ 并代入 $x=0, y=0$
由上式得 $y'(x) = \frac{-\cos y}{k - \cos y - x \sin y}$。代入 $x=0, y=0$：$y'(0) = \frac{-\cos 0}{k - \cos 0 - 0} = \frac{-1}{k-1}$。
公式：$y'(0) = -\frac{1}{k-1}$
提示：代入时注意 $\cos 0 = 1$，$\sin 0 = 0$，分母 $k-1>0$ 因为 $k>1$。
步骤 6/6
目标：计算极限
由于 $y(0)=0$ 且 $y(x)$ 可微，极限 $\lim_{x\to 0} \frac{y(x)}{x} = y'(0) = -\frac{1}{k-1}$。
公式：$\lim_{x\to 0} \frac{y(x)}{x} = -\frac{1}{k-1}$
提示：该极限等价于导数定义，前提是 $y(0)=0$ 且 $y$ 在 $0$ 处可导。
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