湖南大学 2026年数学分析第5题

由 $f(0)=f(1)=0$ 且 $f(x)\neq 0$ 在 $(0,1)$ 内，结合连续性可知 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内恒正或恒负。不妨设 $f(x)>0$（若为负，取 $|f|$ 不影响结论）。由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，故存在 $x_0\in(0,1)$ 使得 $M=f(x_0)=\max_{x\in[0,1]}f(x)>0$，且由极值条件有 $f'(x_0)=0$。

由二阶连续可微，在 $x_0$ 处对 $x=0$ 和 $x=1$ 使用带拉格朗日余项的泰勒公式： 对 $x=0$：存在 $\xi_1\in(0,x_0)$ 使得 $$0 = f(0) = f(x_0) + f'(x_0)(0-x_0) + \frac{f''(\xi_1)}{2}(0-x_0)^2 = M + \frac{f''(\xi_1)}{2}x_0^2$$ 解得 $f''(\xi_1) = -\frac{2M}{x_0^2}$。 对 $x=1$：存在 $\xi_2\in(x_0,1)$ 使得 $$0 = f(1) = M + \frac{f''(\xi_2)}{2}(1-x_0)^2$$ 解得 $f''(\xi_2) = -\frac{2M}{(1-x_0)^2}$。

考虑积分 $\int_0^1 \left|\frac{f''(x)}{f(x)}\right| dx$。由于 $f(x)>0$，且 $f''$ 连续，在 $[0,x_0]$ 上，由 $f''(\xi_1) = -\frac{2M}{x_0^2}$ 及连续性，存在小区间使得 $|f''(x)|$ 较大。更精细地，利用 $f(x) \le M$ 可得 $$\int_0^{x_0} \left|\frac{f''(x)}{f(x)}\right| dx \ge \frac{1}{M} \int_0^{x_0} |f''(x)| dx$$ 由 $f''$ 连续及 $f''(\xi_1) = -\frac{2M}{x_0^2}$，可证 $\int_0^{x_0} |f''(x)| dx \ge \frac{2M}{x_0}$（因为从 $\xi_1$ 向左或右积分，绝对值至少覆盖该点附近）。严格证明可用反证法或利用 $f'$ 的牛顿-莱布尼茨公式： $$f'(x_0)-f'(0) = \int_0^{x_0} f''(t) dt \Rightarrow \int_0^{x_0} |f''(t)| dt \ge |f'(x_0)-f'(0)| = |f'(0)|$$ 而由 $f(0)=0$ 及最大值点性质可估计 $|f'(0)| \ge \frac{M}{x_0}$（由中值定理，存在 $c\in(0,x_0)$ 使 $f'(c)=\frac{M}{x_0}$，且 $f'$ 单调性？此处需更严谨）。 实际上，标准证法采用如下不等式： 由 $f(x) = \int_0^x f'(t) dt$ 及 $f'(t) = \int_{x_0}^t f''(u) du$，可得 $$M = f(x_0) \le \int_0^{x_0} \int_t^{x_0} |f''(u)| du \, dt = \int_0^{x_0} u |f''(u)| du$$ 类似地，$M \le \int_{x_0}^1 (1-u) |f''(u)| du$。

在 $[0,x_0]$ 上，由 $f(0)=0$ 及 $f$ 的连续性，有 $f(x) \le \frac{M}{x_0} x$（因为连接 $(0,0)$ 和 $(x_0,M)$ 的直线是上界？实际上，$f$ 不一定凹，但我们可以用 $f(x) \ge \frac{M}{x_0} x$ 吗？不，这需要凹性。正确做法是：由 $f(x) = \int_0^x f'(t) dt$，且 $|f'(t)| \le \int_0^t |f''(s)| ds$，但这样会复杂。 更简洁的经典证法：利用上一步得到的不等式，直接放缩： $$\int_0^1 \left|\frac{f''(x)}{f(x)}\right| dx \ge \int_0^{x_0} \frac{|f''(x)|}{M} dx + \int_{x_0}^1 \frac{|f''(x)|}{M} dx = \frac{1}{M} \int_0^1 |f''(x)| dx$$ 但这样只能得到下界 $\frac{2}{x_0} + \frac{2}{1-x_0}$？不对，因为 $\int_0^1 |f''|$ 的下界由前面估计为 $2M(\frac{1}{x_0}+\frac{1}{1-x_0})$？实际上，由 $M \le \int_0^{x_0} u |f''(u)| du \le x_0 \int_0^{x_0} |f''(u)| du$，得 $\int_0^{x_0} |f''| \ge \frac{M}{x_0}$，同理 $\int_{x_0}^1 |f''| \ge \frac{M}{1-x_0}$。 因此 $$\int_0^1 \left|\frac{f''(x)}{f(x)}\right| dx \ge \frac{1}{M} \left( \frac{M}{x_0} + \frac{M}{1-x_0} \right) = \frac{1}{x_0} + \frac{1}{1-x_0}$$ 由 $x_0\in(0,1)$，函数 $g(x)=\frac{1}{x}+\frac{1}{1-x}$ 在 $x=\frac12$ 取最小值 $4$，故 $$\int_0^1 \left|\frac{f''(x)}{f(x)}\right| dx \ge 4$$ 等号成立当且仅当 $x_0=\frac12$ 且 $f''$ 集中在端点？但题目要求严格大于 $4$，需说明等号无法取到。

若等号成立，则需 $x_0=\frac12$ 且 $\int_0^{x_0} u|f''(u)|du = M$ 且 $\int_{x_0}^1 (1-u)|f''(u)|du = M$，同时 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上为线性函数（因为只有线性函数才能使上述不等式取等）。但线性函数 $f(x)=ax+b$ 由 $f(0)=f(1)=0$ 得 $f\equiv0$，与 $f(x)\neq0$ 矛盾。故原积分严格大于4。