湖南大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．有收敛级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}=S$ ．
（1）求 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n}$ ．
（2）证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{1}+2 a_{2}+\cdots+n a_{n}}{n(n+1)}$ 收敛，并且求其和．
9 ．求 $\displaystyle \iiint_{\Omega}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\displaystyle \Omega: x=0, x=1, x^{2}+1=\frac{y^{2}}{a^{2}}+\frac{z^{2}}{b^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：第8题(1)：将分子用部分和表示
设 $A_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n$，则 $A_n \to S$。记 $T_n = a_1 + 2a_2 + \cdots + n a_n$。由 $a_k = A_k - A_{k-1}$（令 $A_0=0$），得 $T_n = \sum_{k=1}^n k(A_k - A_{k-1})$。
公式：$T_n = \sum_{k=1}^n k(A_k - A_{k-1})$
提示：注意 $A_0=0$ 的设定，便于后续求和指标变换。
步骤 2/8
目标：第8题(1)：化简 $T_n$ 表达式
展开并调整求和指标：$T_n = \sum_{k=1}^n k A_k - \sum_{k=1}^n k A_{k-1}$。令第二个和式中 $j=k-1$，得 $\sum_{j=0}^{n-1} (j+1)A_j$。合并后得到 $T_n = n A_n - \sum_{k=1}^{n-1} A_k$。
公式：$T_n = n A_n - \sum_{k=1}^{n-1} A_k$
提示：合并时注意 $j=0$ 项 $A_0=0$ 可忽略。
步骤 3/8
目标：第8题(1)：求极限
由 $T_n$ 表达式得 $\frac{T_n}{n} = A_n - \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} A_k$。由于 $A_n \to S$，且 $\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1} A_k$ 是前 $n-1$ 项部分和的平均值，由柯西命题知其极限也为 $S$。因此极限为 $S - S = 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} \frac{T_n}{n} = 0$
提示：柯西命题：若数列收敛，则其前n项算术平均也收敛到同一极限。
步骤 4/8
目标：第8题(2)：构造部分和并利用裂项
设 $S_N = \sum_{n=1}^N \frac{T_n}{n(n+1)}$。由于 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$，得 $S_N = \sum_{n=1}^N \frac{T_n}{n} - \sum_{n=1}^N \frac{T_n}{n+1}$。
公式：$\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$
提示：裂项是处理分母为连续整数乘积的常用技巧。
步骤 5/8
目标：第8题(2)：调整求和指标并化简
将第二个和式指标平移：$\sum_{n=1}^N \frac{T_n}{n+1} = \sum_{m=2}^{N+1} \frac{T_{m-1}}{m}$。代入得 $S_N = \frac{T_1}{1} + \sum_{n=2}^N \frac{T_n - T_{n-1}}{n} - \frac{T_N}{N+1}$。由 $T_n - T_{n-1} = n a_n$，得 $S_N = a_1 + \sum_{n=2}^N a_n - \frac{T_N}{N+1} = \sum_{n=1}^N a_n - \frac{T_N}{N+1}$。
公式：$S_N = \sum_{n=1}^N a_n - \frac{T_N}{N+1}$
提示：注意 $T_1 = a_1$，且 $\frac{T_1}{1}=a_1$。
步骤 6/8
目标：第8题(2)：取极限得和
由第(1)问知 $\frac{T_N}{N} \to 0$，故 $\frac{T_N}{N+1} \to 0$。而 $\sum_{n=1}^N a_n \to S$，因此 $\lim_{N\to\infty} S_N = S$。级数收敛，和为 $S$。
公式：$\sum_{n=1}^\infty \frac{T_n}{n(n+1)} = S$
提示：注意 $\frac{T_N}{N+1} \to 0$ 是由 $\frac{T_N}{N} \to 0$ 直接推出。
步骤 7/8
目标：第9题：利用对称性简化积分
区域 $\Omega$ 由 $x=0, x=1$ 及椭圆柱面 $x^2+1 = \frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2}$ 围成。对固定 $x$，截面为椭圆 $\frac{y^2}{a^2}+\frac{z^2}{b^2} \le x^2+1$，关于 $y=0$ 和 $z=0$ 对称。被积函数 $x+y$ 中 $y$ 是奇函数，在对称区域上积分为零，故 $\iiint_\Omega y\,dV = 0$。
公式：$\iiint_\Omega y\,dV = 0$
提示：对称性可简化积分，但需确认区域对称且被积函数奇偶性。
步骤 8/8
目标：第9题：计算 $\iiint_\Omega x\,dV$
采用先二后一法：$\iiint_\Omega x\,dV = \int_0^1 x \left( \iint_{D(x)} dy\,dz \right) dx$，其中 $D(x)$ 是椭圆区域，面积为 $\pi \cdot a\sqrt{x^2+1} \cdot b\sqrt{x^2+1} = \pi a b (x^2+1)$。因此积分 $= \pi a b \int_0^1 x(x^2+1)\,dx = \pi a b \int_0^1 (x^3+x)\,dx = \pi a b \left( \frac14 + \frac12 \right) = \frac{3\pi a b}{4}$。
公式：$\iiint_\Omega x\,dV = \frac{3\pi a b}{4}$
提示：椭圆面积公式 $S = \pi \cdot \text{半长轴} \cdot \text{半短轴}$，注意半轴随 $x$ 变化。
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