湘潭大学 2023年数学分析第4题
📝 题目
4．计算曲面积分
$$
I=\iint_{S} 2 x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+2 z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 是雉面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(0 \leq z \leq h)$ 的外侧．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：判断曲面是否封闭，并考虑补面
给定的曲面 $S$ 是锥面 $x^2+y^2=z^2$，$0 \le z \le h$，只有侧面，没有顶面和底面（底面退化为原点），因此不是封闭曲面。为了使用高斯公式，我们补上顶面 $S_1: z=h, x^2+y^2 \le h^2$，方向取上侧（与封闭曲面外侧一致）。这样 $S \cup S_1$ 构成封闭曲面，方向为外侧。
公式：封闭曲面外侧方向：顶面法向量向上 $(0,0,1)$
提示：注意锥面在 $z=0$ 处退化为一点，不需要补底面；补面时方向必须与封闭曲面外侧一致。
步骤 2/5
目标：应用高斯公式将曲面积分转化为三重积分
设向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R) = (2x^2, 2y^2, 2z^2)$，则曲面积分 $\iint_{S \cup S_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_V (\nabla \cdot \mathbf{F}) \, dV$。计算散度：$\frac{\partial P}{\partial x} = 4x$，$\frac{\partial Q}{\partial y} = 4y$，$\frac{\partial R}{\partial z} = 4z$，所以 $\nabla \cdot \mathbf{F} = 4x + 4y + 4z = 4(x+y+z)$。区域 $V$ 是锥体：$0 \le z \le h$，$x^2+y^2 \le z^2$。
公式：$\nabla \cdot \mathbf{F} = 4(x+y+z)$
提示：高斯公式要求曲面封闭且方向外侧，补面后要确保方向正确。
步骤 3/5
目标：计算三重积分（使用柱坐标）
采用柱坐标：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$z = z$，体积元 $dV = r \, dr \, d\theta \, dz$。积分区域：$0 \le z \le h$，$0 \le \theta \le 2\pi$，$0 \le r \le z$。被积函数 $4(x+y+z) = 4(r\cos\theta + r\sin\theta + z)$。三重积分：
$$
\iiint_V 4(x+y+z) \, dV = 4 \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^z (r\cos\theta + r\sin\theta + z) \, r \, dr \, d\theta \, dz
$$
先对 $\theta$ 积分，$\int_0^{2\pi} \cos\theta \, d\theta = 0$，$\int_0^{2\pi} \sin\theta \, d\theta = 0$，含 $\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 的项消失，剩下：
$$
= 4 \int_0^h \int_0^{2\pi} \int_0^z z \cdot r \, dr \, d\theta \, dz
$$
先对 $r$ 积分：$\int_0^z r \, dr = \frac{z^2}{2}$，再对 $\theta$ 积分：$\int_0^{2\pi} d\theta = 2\pi$，最后对 $z$ 积分：
$$
= 4 \int_0^h \frac{z^3}{2} \cdot 2\pi \, dz = 4\pi \int_0^h z^3 \, dz = 4\pi \cdot \frac{h^4}{4} = \pi h^4
$$
所以封闭曲面上的积分值为 $\pi h^4$。
公式：$\iiint_V 4(x+y+z) \, dV = \pi h^4$
提示：柱坐标中 $r$ 的上限是 $z$ 而不是常数，注意积分顺序；$\cos\theta$ 和 $\sin\theta$ 在 $[0,2\pi]$ 上积分为零，简化计算。
步骤 4/5
目标：计算补面（顶面）上的曲面积分
顶面 $S_1: z=h$，方向向上，法向量为 $(0,0,1)$。在 $z=h$ 平面上，$dz=0$，所以 $2x^2 \, dy \, dz$ 和 $2y^2 \, dz \, dx$ 均为零，只剩 $2z^2 \, dx \, dy$。代入 $z=h$，得：
$$
\iint_{S_1} 2z^2 \, dx \, dy = \iint_{x^2+y^2 \le h^2} 2h^2 \, dx \, dy = 2h^2 \cdot \pi h^2 = 2\pi h^4
$$
注意：补面方向与封闭曲面外侧一致，因此这个积分值就是我们要减去的部分。
公式：$\iint_{S_1} 2z^2 \, dx \, dy = 2\pi h^4$
提示：在 $z=h$ 平面上，$dx \, dy$ 对应的投影面积就是圆盘面积 $\pi h^2$；注意第二类曲面积分中 $dy \, dz$ 和 $dz \, dx$ 项在平面 $z=$ 常数时为零。
步骤 5/5
目标：由高斯公式得到原曲面积分结果
由高斯公式：$\iint_{S} + \iint_{S_1} = \pi h^4$，所以原曲面积分：
$$
\iint_{S} = \pi h^4 - 2\pi h^4 = -\pi h^4
$$
因此，锥面外侧的曲面积分结果为 $-\pi h^4$。
公式：$\iint_{S} = \pi h^4 - 2\pi h^4 = -\pi h^4$
提示：注意符号：补面方向与封闭曲面外侧一致，所以直接减去补面积分；最终结果为负数，表明通量方向与曲面外侧相反。
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