📝 湘潭大学 2023年数学分析真题
第1题
1．求极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t \mathrm{~d} t}{x \sin x}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t \mathrm{~d} t}{x \sin x}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
第2题
2．解答如下问题：
（1）设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle e^{x^{2}+y}-x^{2} y=0$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ；
（2）设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=t(1-\sin t) ; \\ y=t \cos t .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
（1）设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle e^{x^{2}+y}-x^{2} y=0$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ；
（2）设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=t(1-\sin t) ; \\ y=t \cos t .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
第3题
3．设 $\displaystyle a>0$ ，计算曲线积分
$$
I=\int_{L}\left(e^{x} \sin y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+e^{x} \cos y \mathrm{~d} y
$$
$L$ 是从 $\displaystyle A(a, 0)$ 到 $\displaystyle O(0,0)$ 的上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x$ ．
$$
I=\int_{L}\left(e^{x} \sin y-y^{2}\right) \mathrm{d} x+e^{x} \cos y \mathrm{~d} y
$$
$L$ 是从 $\displaystyle A(a, 0)$ 到 $\displaystyle O(0,0)$ 的上半圆周 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=a x$ ．
第4题
4．计算曲面积分
$$
I=\iint_{S} 2 x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+2 z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 是雉面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(0 \leq z \leq h)$ 的外侧．
$$
I=\iint_{S} 2 x^{2} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+2 y^{2} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+2 z^{2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $S$ 是雉面 $\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}(0 \leq z \leq h)$ 的外侧．
第5题
5．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x e^{-n x^{2}}$
（1）在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 一致收敛（其中 $\displaystyle \delta>0$ ）；
（2）在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 非一致收敛。
（1）在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 一致收敛（其中 $\displaystyle \delta>0$ ）；
（2）在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 非一致收敛。
第6题
6．叙述非空数集 $E$ 的下确界定义，并证明：若 $E$ 为有界非空数集，实数 $\displaystyle \alpha=\inf E$（ $E$ 的下确界），且 $\displaystyle \alpha \notin E$ ，则在 $E$ 中可选取严格单调递减数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ ，使得 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\alpha$ ．
第7题
7．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内可导（其中 $a$ 是给定的实数），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$ ，试证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=A$ ．
第8题
8．解答如下问题：
（1）假设 $f$ 与 $g$ 都是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，证明：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right|^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x .
$$
（2）对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在常数 $\displaystyle C_{\varepsilon}>0$ ，使得对任意的 $\displaystyle f(x) \in C^{1}[a, b]$ ，有
$$
\sup _{x \in[a, b]}|f(x)|^{2} \leq C_{\varepsilon} \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x+\varepsilon \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x
$$
（1）假设 $f$ 与 $g$ 都是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，证明：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right|^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x .
$$
（2）对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在常数 $\displaystyle C_{\varepsilon}>0$ ，使得对任意的 $\displaystyle f(x) \in C^{1}[a, b]$ ，有
$$
\sup _{x \in[a, b]}|f(x)|^{2} \leq C_{\varepsilon} \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x+\varepsilon \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x
$$