湘潭大学 2023年数学分析第5题
📝 题目
5．证明函数项级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x e^{-n x^{2}}$
（1）在 $\displaystyle [\delta,+\infty)$ 一致收敛（其中 $\displaystyle \delta>0$ ）；
（2）在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 非一致收敛。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确函数项和问题
设函数项为 $u_n(x) = x e^{-n x^2}$，定义域为 $[0, +\infty)$。需要证明：
(1) 对任意 $\delta > 0$，级数 $\sum_{n=1}^\infty u_n(x)$ 在 $[\delta, +\infty)$ 上一致收敛；
(2) 级数在 $[0, +\infty)$ 上非一致收敛。
公式：u_n(x) = x e^{-n x^2}
提示：注意 $x \geq 0$ 时 $u_n(x) \geq 0$，可去掉绝对值。
步骤 2/5
目标：证明在 $[\delta, +\infty)$ 一致收敛——寻找优级数
考虑函数 $f(x) = x e^{-n x^2}$ 在 $x \geq \delta$ 上的最大值。求导得 $f'(x) = e^{-n x^2}(1 - 2n x^2)$，令 $f'(x)=0$ 得驻点 $x = \frac{1}{\sqrt{2n}}$。当 $n$ 充分大时，$\frac{1}{\sqrt{2n}} < \delta$，此时 $f(x)$ 在 $[\delta, +\infty)$ 上单调递减，最大值在 $x = \delta$ 处取得。因此对充分大的 $n$，有 $\sup_{x \geq \delta} |u_n(x)| = \delta e^{-n \delta^2}$。
公式：\sup_{x \geq \delta} |u_n(x)| = \delta e^{-n \delta^2} \quad (n \text{ 充分大})
提示：前有限项不影响一致收敛性，只需考虑 $n$ 足够大的情形。
步骤 3/5
目标：应用 Weierstrass M-判别法
取 $M_n = \delta e^{-n \delta^2}$，则 $\sum_{n=1}^\infty M_n = \delta \sum_{n=1}^\infty (e^{-\delta^2})^n$ 是公比为 $e^{-\delta^2} < 1$ 的等比级数，收敛。由 Weierstrass M-判别法，原级数在 $[\delta, +\infty)$ 上一致收敛。
公式：\sum_{n=1}^\infty \delta e^{-n \delta^2} = \frac{\delta e^{-\delta^2}}{1 - e^{-\delta^2}} < +\infty
提示：M-判别法的关键是找到与 $x$ 无关的收敛优级数。
步骤 4/5
目标：证明在 $[0, +\infty)$ 非一致收敛——构造点列
取 $x_N = \frac{1}{\sqrt{N}}$，则第 $N$ 项 $u_N(x_N) = \frac{1}{\sqrt{N}} e^{-1}$。考虑余项 $R_N(x) = \sum_{n=N+1}^\infty x e^{-n x^2}$，在 $x = x_N$ 处有：
$$R_N\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\right) = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{n=N+1}^\infty e^{-n/N}.$$
公式：x_N = \frac{1}{\sqrt{N}}, \quad u_N(x_N) = \frac{1}{e\sqrt{N}}
提示：非一致收敛的常用方法是找点列使余项不趋于0。
步骤 5/5
目标：估计余项的下界
等比级数求和：$\sum_{n=N+1}^\infty e^{-n/N} = \frac{e^{-(N+1)/N}}{1 - e^{-1/N}}$。当 $N \to \infty$ 时，$e^{-(N+1)/N} \to e^{-1}$，$1 - e^{-1/N} \sim \frac{1}{N}$。因此
$$R_N\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\right) \sim \frac{1}{\sqrt{N}} \cdot \frac{e^{-1}}{1/N} = \sqrt{N} e^{-1} \to \infty.$$
这说明 $\sup_{x \in [0,+\infty)} |R_N(x)| \geq R_N(1/\sqrt{N}) \to \infty$，余项不一致趋于0，故级数在 $[0,+\infty)$ 上非一致收敛。
公式：R_N\left(\frac{1}{\sqrt{N}}\right) \sim \sqrt{N} e^{-1} \to +\infty
提示：注意 $1 - e^{-1/N} \sim 1/N$ 的等价无穷小替换。
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