湘潭大学 2023年数学分析第6题

设 $E$ 是一个非空数集。如果存在一个实数 $\alpha$ 满足以下两个条件： 1. $\alpha$ 是 $E$ 的一个下界，即对任意 $x \in E$，都有 $x \ge \alpha$； 2. $\alpha$ 是最大的下界，即对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $x \in E$ 使得 $x < \alpha + \varepsilon$。 则称 $\alpha$ 为集合 $E$ 的下确界，记作 $\alpha = \inf E$。

因为 $\alpha = \inf E$，由定义的第二条，对于任意正整数 $n$，取 $\varepsilon = \frac{1}{n} > 0$，则存在 $x_n \in E$，使得 $\alpha \le x_n < \alpha + \frac{1}{n}$。又因为 $\alpha \notin E$，所以实际上 $x_n > \alpha$。于是我们得到一列 $\{x_n\} \subseteq E$ 满足： $$\alpha < x_n < \alpha + \frac{1}{n}.$$

由 $\alpha < x_n < \alpha + \frac{1}{n}$，两边取极限，当 $n \to \infty$ 时，$\frac{1}{n} \to 0$，根据夹逼定理，有： $$\lim_{n \to \infty} x_n = \alpha.$$

上述数列 $\{x_n\}$ 不一定严格递减，我们需要从中选出一个严格递减的子列。构造方法如下： 令 $n_1 = 1$，取 $y_1 = x_{n_1}$。因为 $y_1 > \alpha$ 且 $\lim_{n\to\infty} x_n = \alpha$，所以存在某个 $k$ 使得 $x_k < y_1$。取最小的这样的下标为 $n_2 > n_1$，令 $y_2 = x_{n_2}$，则 $y_2 < y_1$。 假设已经选出了 $y_1 > y_2 > \dots > y_m$，由于数列 $\{x_n\}$ 趋于 $\alpha$，在足够大的下标处一定存在比 $y_m$ 更小的 $E$ 中的数，取第一个这样的为 $y_{m+1}$，就得到严格递减列。

这样得到的 $\{y_n\}$ 是 $\{x_n\}$ 的子列，因此仍然收敛到 $\alpha$，并且由构造过程可知 $\{y_n\}$ 严格单调递减，且每一项都属于 $E$。因此，在 $E$ 中可选取严格单调递减数列 $\{y_n\}$，使得 $\lim_{n \to \infty} y_n = \alpha$。结论得证。