湘潭大学 2023年数学分析第7题
📝 题目
7．若 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle (a,+\infty)$ 内可导（其中 $a$ 是给定的实数），且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A$ ，试证明： $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=A$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：由导数极限定义，得到导数的局部有界性和逼近性质
由条件 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = A$，对任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $M > a$，使得当 $x > M$ 时，有 $|f'(x) - A| < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$\forall \varepsilon > 0, \exists M > a, \forall x > M: |f'(x) - A| < \frac{\varepsilon}{2}$
提示：注意 $M$ 的选取依赖于 $\varepsilon$，且 $M$ 要大于 $a$。
步骤 2/8
目标：应用拉格朗日中值定理，将 $f(x)$ 与 $f(M)$ 联系起来
对任意 $x > M$，在区间 $[M, x]$ 上应用拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in (M, x)$，使得 $f(x) - f(M) = f'(\xi)(x - M)$。
公式：$f(x) - f(M) = f'(\xi)(x - M), \quad \xi \in (M, x)$
提示：中值点 $\xi$ 依赖于 $x$，且 $\xi > M$，因此 $|f'(\xi) - A| < \frac{\varepsilon}{2}$。
步骤 3/8
目标：将 $\frac{f(x)}{x}$ 改写为便于估计的形式
由上式得 $\frac{f(x)}{x} = \frac{f(M)}{x} + \frac{f'(\xi)(x - M)}{x} = \frac{f(M)}{x} + f'(\xi) - \frac{M f'(\xi)}{x}$。
公式：$\frac{f(x)}{x} = \frac{f(M)}{x} + f'(\xi) - \frac{M f'(\xi)}{x}$
提示：注意拆分时不要遗漏项，特别是 $-\frac{M f'(\xi)}{x}$。
步骤 4/8
目标：估计 $f'(\xi)$ 的有界性
由于 $\lim_{x \to +\infty} f'(x) = A$，存在 $M_1 > a$ 和常数 $C > 0$，使得当 $x > M_1$ 时 $|f'(x)| \leq C$。取 $M$ 大于 $M_1$，则对 $\xi > M$ 有 $|f'(\xi)| \leq C$。
公式：$\exists C > 0, \forall \xi > M: |f'(\xi)| \leq C$
提示：有界性来自极限存在的局部有界性，$C$ 可以取 $|A|+1$ 等。
步骤 5/8
目标：对 $\frac{f(x)}{x} - A$ 进行三角不等式放缩
$\left|\frac{f(x)}{x} - A\right| \leq \frac{|f(M)|}{x} + |f'(\xi) - A| + \frac{M|f'(\xi)|}{x}$。
公式：$\left|\frac{f(x)}{x} - A\right| \leq \frac{|f(M)|}{x} + |f'(\xi)-A| + \frac{M|f'(\xi)|}{x}$
提示：注意绝对值不等式的使用，每一项都要单独估计。
步骤 6/8
目标：选取足够大的 $x$ 使前两项和第三项小于 $\frac{\varepsilon}{4}$
取 $X = \max\left\{ M, \frac{4|f(M)|}{\varepsilon}, \frac{4MC}{\varepsilon} \right\}$，则当 $x > X$ 时，有 $\frac{|f(M)|}{x} < \frac{\varepsilon}{4}$，$\frac{M|f'(\xi)|}{x} < \frac{\varepsilon}{4}$，且 $|f'(\xi)-A| < \frac{\varepsilon}{2}$。
公式：$x > \max\left\{ M, \frac{4|f(M)|}{\varepsilon}, \frac{4MC}{\varepsilon} \right\}$
提示：注意 $M$ 和 $C$ 是固定的，$X$ 依赖于 $\varepsilon$。
步骤 7/8
目标：综合估计，得到极限定义所需的不等式
于是 $\left|\frac{f(x)}{x} - A\right| < \frac{\varepsilon}{4} + \frac{\varepsilon}{2} + \frac{\varepsilon}{4} = \varepsilon$。
公式：$\left|\frac{f(x)}{x} - A\right| < \varepsilon$
提示：注意 $\varepsilon$ 的任意性，由极限定义即得结论。
步骤 8/8
目标：得出结论
由极限定义，$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = A$。
公式：$\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = A$
提示：证明完成，注意条件中 $f$ 在 $(a,+\infty)$ 可导是使用中值定理的前提。
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