湘潭大学 2023年数学分析第8题
📝 题目
8．解答如下问题：
（1）假设 $f$ 与 $g$ 都是区间 $\displaystyle [a, b]$ 上的连续函数，证明：
$$
\left|\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x\right|^{2} \leq \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x \int_{a}^{b} g^{2}(x) \mathrm{d} x .
$$
（2）对任意的 $\displaystyle \varepsilon>0$ ，存在常数 $\displaystyle C_{\varepsilon}>0$ ，使得对任意的 $\displaystyle f(x) \in C^{1}[a, b]$ ，有
$$
\sup _{x \in[a, b]}|f(x)|^{2} \leq C_{\varepsilon} \int_{a}^{b} f^{2}(x) \mathrm{d} x+\varepsilon \int_{a}^{b}\left|f^{\prime}(x)\right|^{2} \mathrm{~d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：证明积分形式的柯西-施瓦茨不等式
考虑对任意实数 $t$，有 $\int_a^b (f(x) + t g(x))^2 \, dx \ge 0$。展开平方得：$\int_a^b f^2(x) \, dx + 2t \int_a^b f(x)g(x) \, dx + t^2 \int_a^b g^2(x) \, dx \ge 0$。这是一个关于 $t$ 的二次函数且恒非负，因此判别式 $\Delta \le 0$。计算判别式：$\Delta = \left( 2\int_a^b fg \, dx \right)^2 - 4 \left( \int_a^b f^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g^2 \, dx \right) \le 0$。化简即得 $\left( \int_a^b fg \, dx \right)^2 \le \left( \int_a^b f^2 \, dx \right) \left( \int_a^b g^2 \, dx \right)$。两边开平方取绝对值即得所需不等式。
公式：\left|\int_a^b f(x)g(x) \, dx\right|^2 \le \int_a^b f^2(x) \, dx \int_a^b g^2(x) \, dx
提示：注意二次函数非负的判别式条件，不要忘记系数4。
步骤 2/5
目标：利用微积分基本定理表示函数值
对任意 $x, y \in [a,b]$，由微积分基本定理有 $f(x) = f(y) + \int_y^x f'(t) \, dt$。两边平方并利用不等式 $(u+v)^2 \le 2(u^2+v^2)$ 得：$|f(x)|^2 \le 2|f(y)|^2 + 2\left(\int_y^x f'(t) \, dt\right)^2$。
公式：|f(x)|^2 \le 2|f(y)|^2 + 2\left(\int_y^x f'(t) \, dt\right)^2
提示：平方后使用基本不等式时，注意系数2的由来。
步骤 3/5
目标：对y积分并应用柯西-施瓦茨不等式
将上一步的不等式对 $y$ 从 $a$ 到 $b$ 积分，并除以 $b-a$：$|f(x)|^2 \le \frac{2}{b-a} \int_a^b |f(y)|^2 \, dy + \frac{2}{b-a} \int_a^b \left(\int_y^x |f'(t)| \, dt\right)^2 \, dy$。对第二项中的内积分应用柯西-施瓦茨不等式：$\left(\int_y^x |f'(t)| \, dt\right)^2 \le |x-y| \int_a^b |f'(t)|^2 \, dt$。由于 $|x-y| \le b-a$，所以 $\int_a^b \left(\int_y^x |f'(t)| \, dt\right)^2 \, dy \le (b-a)^2 \int_a^b |f'(t)|^2 \, dt$。代入得：$|f(x)|^2 \le \frac{2}{b-a} \int_a^b f^2(y) \, dy + 2(b-a) \int_a^b |f'(t)|^2 \, dt$。
公式：|f(x)|^2 \le \frac{2}{b-a} \int_a^b f^2(y) \, dy + 2(b-a) \int_a^b |f'(t)|^2 \, dt
提示：注意柯西-施瓦茨不等式的应用条件，以及积分限的处理。
步骤 4/5
目标：取上确界得到初步不等式
上一步的不等式对所有 $x \in [a,b]$ 成立，因此对左端取上确界也成立：$\sup_{x\in[a,b]} |f(x)|^2 \le \frac{2}{b-a} \int_a^b f^2(x) \, dx + 2(b-a) \int_a^b |f'(x)|^2 \, dx$。记 $A = \frac{2}{b-a}$，$B = 2(b-a)$，则 $\sup|f|^2 \le A \|f\|_{L^2}^2 + B \|f'\|_{L^2}^2$。
公式：\sup_{x\in[a,b]} |f(x)|^2 \le \frac{2}{b-a} \int_a^b f^2 + 2(b-a) \int_a^b |f'|^2
提示：上确界不等式成立是因为右边与x无关。
步骤 5/5
目标：通过变量替换调整系数得到所需形式
对任意给定的 $\varepsilon > 0$，取 $K = \frac{2(b-a)}{\varepsilon}$。定义新函数 $\tilde f(t) = f\left(a + \frac{t-a}{K}\right)$，其定义域为 $[a, a+K(b-a)]$。应用上一步的不等式于 $\tilde f$：$\sup|\tilde f|^2 \le \frac{2}{K(b-a)} \int |\tilde f|^2 + 2K(b-a) \int |\tilde f'|^2$。换回原变量 $f$，注意 $\int |\tilde f|^2 = K \int_a^b f^2$，$\int |\tilde f'|^2 = \frac{1}{K} \int_a^b (f')^2$，且 $\sup|\tilde f| = \sup|f|$。代入得：$\sup|f|^2 \le \frac{2K}{b-a} \int_a^b f^2 + \frac{2(b-a)}{K} \int_a^b (f')^2$。将 $K = \frac{2(b-a)}{\varepsilon}$ 代入，第二项系数为 $\varepsilon$，第一项系数为 $C_\varepsilon = \frac{4(b-a)}{\varepsilon(b-a)} = \frac{4}{\varepsilon}$？重新计算：$\frac{2K}{b-a} = \frac{2 \cdot 2(b-a)/\varepsilon}{b-a} = \frac{4}{\varepsilon}$。因此得到 $\sup|f|^2 \le \frac{4}{\varepsilon} \int_a^b f^2 + \varepsilon \int_a^b (f')^2$。取 $C_\varepsilon = \frac{4}{\varepsilon}$ 即得所需形式。
公式：\sup_{x\in[a,b]} |f(x)|^2 \le \frac{4}{\varepsilon} \int_a^b f^2(x) \, dx + \varepsilon \int_a^b |f'(x)|^2 \, dx
提示：变量替换时注意积分变换的雅可比因子，确保系数计算正确。
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