湘潭大学 2023年数学分析第3题

将曲线方程 $x^2+y^2=ax$ 配方得 $(x-\frac{a}{2})^2+y^2=(\frac{a}{2})^2$，表示圆心在 $(\frac{a}{2},0)$、半径为 $\frac{a}{2}$ 的圆。$L$ 是上半圆周（$y\ge 0$），起点 $A(a,0)$（最右端），终点 $O(0,0)$（最左端），方向从右向左。

令 $P(x,y)=e^x\sin y-y^2$，$Q(x,y)=e^x\cos y$。计算偏导数：$\frac{\partial Q}{\partial x}=e^x\cos y$，$\frac{\partial P}{\partial y}=e^x\cos y-2y$，得 $\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2y$。补上从 $O(0,0)$ 到 $A(a,0)$ 的直线段 $L_1$（沿 $x$ 轴，$y=0$），则 $L+L_1$ 构成逆时针封闭曲线。

由格林公式，$\oint_{L+L_1} P\,dx+Q\,dy = \iint_D 2y\,d\sigma$，其中 $D$ 是上半圆盘：$(x-\frac{a}{2})^2+y^2\le (\frac{a}{2})^2$，$y\ge 0$。

作平移 $u=x-\frac{a}{2}$，$v=y$，区域变为 $u^2+v^2\le (\frac{a}{2})^2$，$v\ge 0$。被积函数 $2y=2v$。用极坐标：$u=r\cos\theta$，$v=r\sin\theta$，$0\le r\le \frac{a}{2}$，$0\le \theta\le \pi$。积分 $\iint_D 2v\,du\,dv = \int_0^\pi \int_0^{a/2} 2(r\sin\theta)\,r\,dr\,d\theta = 2\int_0^\pi \sin\theta\,d\theta \int_0^{a/2} r^2\,dr$。计算得 $\int_0^\pi \sin\theta\,d\theta=2$，$\int_0^{a/2} r^2\,dr = \frac{(a/2)^3}{3}=\frac{a^3}{24}$，故结果为 $2\times 2\times \frac{a^3}{24}=\frac{a^3}{6}$。

在 $L_1$ 上，$y=0$，$dy=0$，$x$ 从 $0$ 到 $a$。此时 $P(x,0)=e^x\cdot 0-0=0$，$Q(x,0)=e^x\cdot 1=e^x$，但 $dy=0$，故被积表达式为 $0$，积分值为 $0$。

由 $\int_{L} + \int_{L_1} = \frac{a^3}{6}$ 且 $\int_{L_1}=0$，得 $\int_{L} = \frac{a^3}{6}$。