湘潭大学 2023年数学分析第2题
📝 题目
2．解答如下问题：
（1）设函数 $\displaystyle y=y(x)$ 由 $\displaystyle e^{x^{2}+y}-x^{2} y=0$ 确定，求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ；
（2）设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=t(1-\sin t) ; \\ y=t \cos t .\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：对隐函数方程两边求导，得到一阶导数表达式
已知方程 $e^{x^2+y} - x^2 y = 0$，两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数：
$\frac{d}{dx} e^{x^2+y} = e^{x^2+y} \cdot (2x + y')$，
$\frac{d}{dx}(-x^2 y) = - (2x y + x^2 y')$。
因此有：
$e^{x^2+y}(2x + y') - 2x y - x^2 y' = 0$。
公式：$e^{x^2+y}(2x + y') - 2x y - x^2 y' = 0$
提示：注意 $e^{x^2+y}$ 的导数要使用链式法则，$y$ 是 $x$ 的函数，所以 $\frac{d}{dx} e^{x^2+y} = e^{x^2+y} \cdot (2x + \frac{dy}{dx})$。
步骤 2/6
目标：整理一阶导数表达式并利用原方程简化
将含 $y'$ 的项合并：
$y'(e^{x^2+y} - x^2) = 2x y - 2x e^{x^2+y}$，
所以 $y' = \frac{2x(y - e^{x^2+y})}{e^{x^2+y} - x^2}$。
由原方程 $e^{x^2+y} = x^2 y$，代入得：
分子：$y - x^2 y = y(1-x^2)$，分母：$x^2 y - x^2 = x^2(y-1)$，
因此 $y' = \frac{2y(1-x^2)}{x(y-1)}$。
公式：$y' = \frac{2y(1-x^2)}{x(y-1)}$
提示：利用原方程简化是隐函数求导的关键技巧，可以避免复杂的表达式。注意分母 $y-1$ 不能为零。
步骤 3/6
目标：对一阶导数求导，得到二阶导数表达式
对 $y' = \frac{2y(1-x^2)}{x(y-1)}$ 求导，令 $u = 2y(1-x^2)$，$v = x(y-1)$。
$u' = 2y'(1-x^2) - 4xy$，$v' = (y-1) + x y'$。
由商的导数公式：$y'' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。
计算分子：
$u'v = [2y'(1-x^2) - 4xy] \cdot x(y-1) = 2x y'(1-x^2)(y-1) - 4x^2 y(y-1)$，
$uv' = 2y(1-x^2) \cdot [(y-1) + x y'] = 2y(1-x^2)(y-1) + 2x y(1-x^2) y'$。
分子相减并合并 $y'$ 项：
$y'[2x(1-x^2)(y-1) - 2x(1-x^2)y] = -2x(1-x^2) y'$，
常数项：$-4x^2 y(y-1) - 2y(1-x^2)(y-1) = -2y(y-1)(x^2+1)$。
所以分子为 $-2x(1-x^2) y' - 2y(y-1)(x^2+1)$，分母为 $x^2 (y-1)^2$。
公式：$y'' = \frac{-2x(1-x^2) y' - 2y(y-1)(x^2+1)}{x^2 (y-1)^2}$
提示：商的导数公式中，$u'v - uv'$ 的顺序不能颠倒。合并同类项时要仔细，避免符号错误。
步骤 4/6
目标：代入一阶导数并化简二阶导数
将 $y' = \frac{2y(1-x^2)}{x(y-1)}$ 代入分子第一项：
$-2x(1-x^2) \cdot \frac{2y(1-x^2)}{x(y-1)} = \frac{-4y(1-x^2)^2}{y-1}$。
分子变为 $\frac{-4y(1-x^2)^2}{y-1} - 2y(y-1)(x^2+1)$，通分 $y-1$：
$\frac{-4y(1-x^2)^2 - 2y(y-1)^2 (x^2+1)}{y-1}$。
因此 $y'' = \frac{-4y(1-x^2)^2 - 2y(y-1)^2 (x^2+1)}{(y-1) \cdot x^2 (y-1)^2} = \frac{-2y[2(1-x^2)^2 + (y-1)^2 (x^2+1)]}{x^2 (y-1)^3}$。
公式：$y'' = \frac{-2y[2(1-x^2)^2 + (y-1)^2 (x^2+1)]}{x^2 (y-1)^3}$
提示：代入后化简时，注意分子分母的因式分解，最终结果可以保留因式形式，不必展开。
步骤 5/6
目标：求参数方程的一阶导数
已知 $x = t(1-\sin t)$，$y = t\cos t$。
$\frac{dx}{dt} = (1-\sin t) + t(-\cos t) = 1 - \sin t - t\cos t$，
$\frac{dy}{dt} = \cos t - t\sin t$。
因此 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t - t\sin t}{1 - \sin t - t\cos t}$。
公式：$\frac{dy}{dx} = \frac{\cos t - t\sin t}{1 - \sin t - t\cos t}$
提示：参数方程求一阶导时，直接使用公式 $\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$，注意 $dx/dt$ 不能为零。
步骤 6/6
目标：求参数方程的二阶导数
二阶导数公式：$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt}(\frac{dy}{dx}) / \frac{dx}{dt}$。
令 $u = \cos t - t\sin t$，$v = 1 - \sin t - t\cos t$。
$u' = -\sin t - (\sin t + t\cos t) = -2\sin t - t\cos t$，
$v' = -\cos t - (\cos t - t\sin t) = -2\cos t + t\sin t$。
则 $\frac{d}{dt}(\frac{u}{v}) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$。
计算 $u'v$：
$(-2\sin t - t\cos t)(1 - \sin t - t\cos t) = -2\sin t + 2\sin^2 t + 2t\sin t\cos t - t\cos t + t\sin t\cos t + t^2\cos^2 t$
$= -2\sin t + 2\sin^2 t - t\cos t + 3t\sin t\cos t + t^2\cos^2 t$。
计算 $uv'$：
$(\cos t - t\sin t)(-2\cos t + t\sin t) = -2\cos^2 t + t\sin t\cos t + 2t\sin t\cos t - t^2\sin^2 t$
$= -2\cos^2 t + 3t\sin t\cos t - t^2\sin^2 t$。
因此 $u'v - uv' = (-2\sin t + 2\sin^2 t - t\cos t + 3t\sin t\cos t + t^2\cos^2 t) - (-2\cos^2 t + 3t\sin t\cos t - t^2\sin^2 t)$
$= -2\sin t + 2\sin^2 t - t\cos t + t^2\cos^2 t + 2\cos^2 t + t^2\sin^2 t$
$= -2\sin t - t\cos t + 2(\sin^2 t + \cos^2 t) + t^2(\sin^2 t + \cos^2 t)$
$= -2\sin t - t\cos t + 2 + t^2$。
所以 $\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{-2\sin t - t\cos t + 2 + t^2}{(1 - \sin t - t\cos t)^3}$。
公式：$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{2 + t^2 - 2\sin t - t\cos t}{(1 - \sin t - t\cos t)^3}$
提示：计算 $u'v - uv'$ 时，注意合并同类项，利用 $\sin^2 t + \cos^2 t = 1$ 简化。分母是 $v^3$，因为 $\frac{d}{dt}(\frac{u}{v})$ 除以 $v$ 后得到 $v^3$。
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