湘潭大学 2023年数学分析第1题
📝 题目
1．求极限．
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x} \sin x-x(1+x)}{x^{3}}$ ；
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} \sin t \mathrm{~d} t}{x \sin x}$ ；
（3） $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分析第一小题的极限类型并展开泰勒公式
当 $x \to 0$ 时，分子 $e^{x} \sin x - x(1+x)$ 和分母 $x^3$ 都趋于 $0$，属于 $\frac{0}{0}$ 型未定式。使用泰勒展开：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3)$，$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)$。
公式：e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + o(x^3), \quad \sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^4)
提示：展开时需保证阶数足够，分子分母同阶才能消去。
步骤 2/7
目标：计算第一小题中乘积的展开式
计算 $e^x \sin x$ 的乘积到 $x^3$ 项：$1 \cdot x = x$，$1 \cdot (-\frac{x^3}{6}) = -\frac{x^3}{6}$，$x \cdot x = x^2$，$\frac{x^2}{2} \cdot x = \frac{x^3}{2}$。合并得 $e^x \sin x = x + x^2 + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right)x^3 + o(x^3) = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$。
公式：e^x \sin x = x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)
提示：注意交叉项不要遗漏，$x \cdot (-\frac{x^3}{6})$ 是 $x^4$ 阶，可忽略。
步骤 3/7
目标：化简第一小题的分子并求极限
分子 $e^x \sin x - x(1+x) = (x + x^2 + \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)) - (x + x^2) = \frac{1}{3}x^3 + o(x^3)$。因此极限为 $\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3}x^3 + o(x^3)}{x^3} = \frac{1}{3}$。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} \sin x - x(1+x)}{x^{3}} = \frac{1}{3}
提示：$o(x^3)/x^3 \to 0$，只需关注主项系数。
步骤 4/7
目标：处理第二小题的积分并化简
计算分子积分：$\int_0^x \sin t \, dt = 1 - \cos x$。原极限化为 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x \sin x}$，仍为 $\frac{0}{0}$ 型。
公式：\int_0^x \sin t \, dt = 1 - \cos x
提示：积分计算要准确，注意符号。
步骤 5/7
目标：用等价无穷小求第二小题极限
当 $x \to 0$ 时，$1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$，$\sin x \sim x$。代入得 $\frac{1 - \cos x}{x \sin x} \sim \frac{x^2/2}{x \cdot x} = \frac{1}{2}$。因此极限为 $\frac{1}{2}$。
公式：1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}, \quad \sin x \sim x
提示：等价无穷小替换需确保乘除关系，不能随意加减替换。
步骤 6/7
目标：分析第三小题的结构并取对数
记 $H_n = 1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}$，则原极限为 $\lim_{n \to \infty} H_n^{1/n}$。取对数得 $\ln(H_n^{1/n}) = \frac{\ln H_n}{n}$。由于 $H_n \sim \ln n + \gamma$（$\gamma$ 为欧拉常数），$\ln H_n \sim \ln \ln n$，故 $\frac{\ln H_n}{n} \to 0$。
公式：\ln(H_n^{1/n}) = \frac{\ln H_n}{n}
提示：调和级数发散速度慢，对数增长远慢于线性。
步骤 7/7
目标：严格证明第三小题极限为1
对任意 $n$，有 $\ln n < H_n < \ln n + 1$（当 $n \geq 2$），则 $\frac{\ln(\ln n)}{n} < \frac{\ln H_n}{n} < \frac{\ln(\ln n + 1)}{n}$。两边夹逼得 $\frac{\ln H_n}{n} \to 0$，因此原极限 $= e^0 = 1$。
公式：\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{2} + \cdots + \frac{1}{n}\right)^{\frac{1}{n}} = 1
提示：夹逼定理是处理数列极限的常用方法，注意不等式放缩方向。
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