苏州大学 2023年数学分析第10题

对于固定的 $x \in (0,1)$，考虑函数 $F(t) = \int_0^x f(s)\, ds - f(t) x$。由于 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，由积分中值定理，存在 $c \in [0,x]$ 使得 $\int_0^x f(t)\, dt = f(c) x$。因为 $f'(0)=0$ 且 $f''(0) \neq 0$，在 $0$ 附近 $f$ 不是常数，故当 $x>0$ 足够小时，$c$ 不能是端点 $0$ 或 $x$（否则 $f$ 为常数，矛盾）。由连续性，对任意 $x \in (0,1)$，该中值点 $c$ 可选取在开区间 $(0,x)$ 内，记作 $\xi(x)$，从而存在性得证。

由于 $f$ 二阶连续可微且 $f'(0)=0$，在 $t=0$ 处泰勒展开：$f(t) = f(0) + \frac{f''(0)}{2} t^2 + o(t^2)$。对积分展开：$\int_0^x f(t)\, dt = f(0)x + \frac{f''(0)}{6} x^3 + o(x^3)$。设 $\xi(x) = \theta x$，其中 $\theta = \theta(x) \in (0,1)$，则 $f(\xi(x)) = f(0) + \frac{f''(0)}{2} \theta^2 x^2 + o(x^2)$。

将展开式代入 $\int_0^x f(t)\, dt = f(\xi(x)) x$，得：$f(0)x + \frac{f''(0)}{6} x^3 + o(x^3) = \left[ f(0) + \frac{f''(0)}{2} \theta^2 x^2 + o(x^2) \right] x = f(0)x + \frac{f''(0)}{2} \theta^2 x^3 + o(x^3)$。两边消去 $f(0)x$，再除以 $x^3$（$x>0$），得：$\frac{f''(0)}{6} + o(1) = \frac{f''(0)}{2} \theta^2 + o(1)$。

令 $x \to 0^+$，则 $o(1) \to 0$，得到 $\frac{f''(0)}{6} = \frac{f''(0)}{2} \lim_{x \to 0^+} \theta^2$。由于 $f''(0) \neq 0$，两边约去 $f''(0)$，得 $\frac{1}{6} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0^+} \theta^2$，故 $\lim_{x \to 0^+} \theta^2 = \frac{1}{3}$。因为 $\theta > 0$，所以 $\lim_{x \to 0^+} \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$。而 $\frac{\xi(x)}{x} = \theta$，因此极限为 $\frac{1}{\sqrt{3}}$。