苏州大学 2023年数学分析第11题
📝 题目
11．（10 分）设 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 是正项数列，且级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 发散．
（1）若 $\displaystyle \left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，证明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n a_{n}}$ 发散；
（2）举例说明 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{1+n a_{n}}$ 可以收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析题目条件与待证结论
已知正项数列 $\{a_n\}$ 单调递减，且级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 发散。要证明 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_n}{1+ n a_n}$ 发散。考虑对 $n a_n$ 的大小分两种情况讨论。
公式：$a_n > 0$，$a_n$ 递减，$\sum a_n = +\infty$
提示：注意 $a_n$ 递减且正，因此 $n a_n$ 可能趋于0、常数或无穷，需分类讨论。
步骤 2/5
目标：情况1：存在无穷多个 $n$ 使得 $n a_n \ge 1$
若存在无穷多个 $n$ 满足 $n a_n \ge 1$，则对于这些 $n$，有 $1 + n a_n \le n a_n + n a_n = 2 n a_n$，因此
\[
\frac{a_n}{1+ n a_n} \ge \frac{a_n}{2 n a_n} = \frac{1}{2n}.
\]
由于调和级数 $\sum \frac{1}{2n}$ 发散，由比较判别法知原级数发散。
公式：$\frac{a_n}{1+ n a_n} \ge \frac{1}{2n}$ 当 $n a_n \ge 1$
提示：分母放大时注意方向：$1 + n a_n \le 2 n a_n$ 推出分式缩小，但这里是取倒数后的不等式，要小心。
步骤 3/5
目标：情况2：只有有限个 $n$ 使得 $n a_n \ge 1$，即从某项起 $n a_n < 1$
当 $n$ 充分大时，$n a_n < 1$，则 $1 + n a_n < 2$，于是
\[
\frac{a_n}{1+ n a_n} > \frac{a_n}{2}.
\]
由于 $\sum a_n$ 发散，故 $\sum \frac{a_n}{2}$ 发散，由比较判别法知原级数发散。
公式：$\frac{a_n}{1+ n a_n} > \frac{a_n}{2}$ 当 $n a_n < 1$
提示：注意此时分母小于2，因此分式大于 $a_n/2$，而不是小于。
步骤 4/5
目标：综合两种情况，完成证明
无论哪种情况，原级数 $\sum \frac{a_n}{1+ n a_n}$ 都发散，故（1）得证。
公式：无
提示：分类讨论要覆盖所有可能，这里两种情况互斥且完备。
步骤 5/5
目标：构造反例说明（2）：级数可以收敛
取数列 $a_n$ 如下：
\[
a_n = \begin{cases}
1, & n = k^2 \ (k=1,2,3,\ldots),\\
\frac{1}{n^2}, & \text{其他 } n.
\end{cases}
\]
则 $\sum a_n$ 包含无穷多个1，故发散。
计算新级数：
- 当 $n = k^2$ 时，$\frac{a_n}{1+ n a_n} = \frac{1}{1 + k^2} \le \frac{1}{k^2}$，求和 $\sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2}$ 收敛；
- 当 $n$ 不是平方数时，$a_n = 1/n^2$，则 $\frac{a_n}{1+ n a_n} = \frac{1/n^2}{1 + 1/n} \sim \frac{1}{n^2}$，故级数收敛。
因此整体收敛。
公式：$\frac{1}{1+k^2} \le \frac{1}{k^2}$，$\frac{1/n^2}{1+1/n} \sim \frac{1}{n^2}$
提示：反例的关键是让 $a_n$ 在稀疏位置取大值，使 $\sum a_n$ 发散，但 $\frac{a_n}{1+ n a_n}$ 因分母大而变小，其余位置取小值使级数收敛。
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