西南交通大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1、若数列 $\displaystyle \left\{x_{n}\right\}$ 无界，但不是无穷大，证明：存在两子列一个为无穷大，一个有界。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解“无界”与“不是无穷大”的定义
数列无界：对任意 $M>0$，存在 $n$ 使得 $|x_n| > M$。数列是无穷大：对任意 $G>0$，存在 $N$，当 $n>N$ 时，$|x_n| > G$。题目中“不是无穷大”意味着存在某个 $G_0>0$，使得对任意 $N$，都存在 $n>N$ 满足 $|x_n| \leq G_0$，即有无穷多项的绝对值不超过 $G_0$。
公式：$\exists G_0>0,\ \forall N,\ \exists n>N:\ |x_n|\leq G_0$
提示：注意区分“无界”和“无穷大”：无界只要求存在某些项很大，而无穷大要求从某项之后所有项都很大。
步骤 2/4
目标：构造有界子列
由“不是无穷大”的定义，存在正数 $M_0$ 使得有无穷多个下标 $n$ 满足 $|x_n| \leq M_0$。将这些下标按从小到大的顺序取出，记为 $n_{k_1}, n_{k_2}, \dots$，则子列 $\{x_{n_{k_j}}\}$ 的每一项绝对值都不超过 $M_0$，因此该子列有界。
公式：$|x_{n_{k_j}}| \leq M_0$ 对所有 $j$ 成立
提示：有界子列的存在性直接来自“不是无穷大”的否定定义，注意要取无穷多个下标。
步骤 3/4
目标：构造无穷大子列
由于数列无界，我们可以逐步选取下标：取 $n_1$ 使得 $|x_{n_1}| > 1$；假设已取到 $n_k$，则取 $n_{k+1} > n_k$ 使得 $|x_{n_{k+1}}| > k+1$（由无界性总能找到这样的下标）。这样得到的子列 $\{x_{n_k}\}$ 满足：对任意正数 $G$，当 $k > G$ 时，$|x_{n_k}| > k > G$，因此该子列是无穷大。
公式：$|x_{n_k}| > k$ 对所有 $k$ 成立
提示：构造时要保证下标严格递增，否则不能构成子列。每一步利用无界性确保存在性。
步骤 4/4
目标：验证两个子列互不冲突且同时存在
有界子列取自满足 $|x_n| \leq M_0$ 的无穷多个项，无穷大子列取自绝对值任意大的项，这两类项在原数列中可以交错出现，互不影响。由于原数列有无穷多项满足有界条件，也有无穷多项可以取到任意大，因此两个子列可以同时存在，证明完成。
公式：无
提示：不需要担心下标重叠，因为两个子列是从不同的无穷集合中选取的。
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