西南交通大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3、若 $\displaystyle f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)>0, f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)<0$ ，证明：$\displaystyle x_{0}$ 为极小值点．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确已知条件与目标
已知函数 $f$ 在点 $x_0$ 处有右导数 $f'_+(x_0) > 0$ 和左导数 $f'_-(x_0) < 0$，需要证明 $x_0$ 是 $f$ 的极小值点。极小值点的定义是：存在 $δ > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < δ$ 时，恒有 $f(x) \geq f(x_0)$。
公式：$f'_+(x_0) = \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} > 0$，$f'_-(x_0) = \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} < 0$
提示：注意左右导数定义中分母的符号不同，这是后续推导的关键。
步骤 2/5
目标：由右导数大于0推导右侧邻域性质
由极限的保号性，因为 $f'_+(x_0) > 0$，存在 $δ_1 > 0$，使得对所有 $x \in (x_0, x_0 + δ_1)$，有 $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} > 0$。由于分母 $x - x_0 > 0$，分子必须为正，即 $f(x) - f(x_0) > 0$，因此 $f(x) > f(x_0)$。
公式：$\forall x \in (x_0, x_0 + δ_1): \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0 \Rightarrow f(x) > f(x_0)$
提示：保号性要求极限值大于0，则存在邻域内所有点（不包括极限点）的差商都大于0。
步骤 3/5
目标：由左导数小于0推导左侧邻域性质
由极限的保号性，因为 $f'_-(x_0) < 0$，存在 $δ_2 > 0$，使得对所有 $x \in (x_0 - δ_2, x_0)$，有 $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} < 0$。此时分母 $x - x_0 < 0$，不等式两边乘以负数 $x - x_0$ 不等号方向反转，得到 $f(x) - f(x_0) > 0$，即 $f(x) > f(x_0)$。
公式：$\forall x \in (x_0 - δ_2, x_0): \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} < 0 \Rightarrow f(x) > f(x_0)$
提示：处理分母为负时，乘以分母要改变不等号方向，这是常见易错点。
步骤 4/5
目标：综合左右邻域得到极小值结论
取 $δ = \min(δ_1, δ_2) > 0$，则对于任意满足 $0 < |x - x_0| < δ$ 的 $x$（即 $x$ 在 $x_0$ 的左侧或右侧去心邻域内），都有 $f(x) > f(x_0)$。根据极小值点的定义，$x_0$ 是 $f$ 的一个严格局部极小值点。
公式：取 $δ = \min(\delta_1, \delta_2)$，则 $\forall x: 0 < |x-x_0| < δ \Rightarrow f(x) > f(x_0)$
提示：严格极小值要求邻域内除 $x_0$ 外所有点函数值严格大于 $f(x_0)$，这里恰好满足。
步骤 5/5
目标：总结证明过程
综上，由右导数大于0得到右侧邻域 $f(x) > f(x_0)$，由左导数小于0得到左侧邻域 $f(x) > f(x_0)$，因此存在去心邻域使得 $f(x) > f(x_0)$，故 $x_0$ 是极小值点。
公式：结论：$x_0$ 是 $f$ 的严格局部极小值点。
提示：注意题目条件只给出左右导数存在且符号相反，并不要求导数连续或函数可导。
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