西南财经大学 2023年数学分析第1题

计算积分 $\int_0^x t\cos t\,dt$，使用分部积分法：令 $u=t$，$dv=\cos t\,dt$，则 $du=dt$，$v=\sin t$，得 $\int t\cos t\,dt = t\sin t - \int \sin t\,dt = t\sin t + \cos t + C$。代入上下限：$\int_0^x t\cos t\,dt = [t\sin t + \cos t]_0^x = (x\sin x + \cos x) - (0+1) = x\sin x + \cos x - 1$。因此分子变为 $(x\sin x + \cos x - 1) - 1 + \cos x = x\sin x + 2\cos x - 2$。

分母为 $\sqrt{1+x\tan x} - \sqrt{1+x\sin x}$，有理化得：$\frac{(1+x\tan x)-(1+x\sin x)}{\sqrt{1+x\tan x}+\sqrt{1+x\sin x}} = \frac{x(\tan x - \sin x)}{\sqrt{1+x\tan x}+\sqrt{1+x\sin x}}$。原极限化为：$\lim_{x\to 0} \frac{(x\sin x + 2\cos x - 2)(\sqrt{1+x\tan x}+\sqrt{1+x\sin x})}{x(\tan x - \sin x)}$。当 $x\to 0$ 时，$\sqrt{1+x\tan x}+\sqrt{1+x\sin x} \to 2$，故极限可写为 $2\lim_{x\to 0} \frac{x\sin x + 2\cos x - 2}{x(\tan x - \sin x)}$。

使用泰勒展开：$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$，$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + O(x^6)$。计算：$x\sin x = x^2 - \frac{x^4}{6} + O(x^6)$，$2\cos x = 2 - x^2 + \frac{x^4}{12} + O(x^6)$。相加得 $x\sin x + 2\cos x - 2 = (x^2 - \frac{x^4}{6}) + (2 - x^2 + \frac{x^4}{12}) - 2 = -\frac{x^4}{12} + O(x^6)$。因此分子主项为 $-\frac{x^4}{12}$。

利用 $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$，先展开 $\frac{1}{\cos x} = 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + O(x^6)$，则 $\frac{1}{\cos x} - 1 = \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} + O(x^6)$。乘以 $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + O(x^5)$ 得：$\tan x - \sin x = (x - \frac{x^3}{6})(\frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24}) + \cdots = \frac{x^3}{2} + \frac{1}{8}x^5 + O(x^7)$。因此分母 $x(\tan x - \sin x) = \frac{x^4}{2} + O(x^6)$。

由前两步，$\frac{x\sin x + 2\cos x - 2}{x(\tan x - \sin x)} \sim \frac{-\frac{x^4}{12}}{\frac{x^4}{2}} = -\frac{1}{6}$。再乘以有理化因子极限 $2$，得最终极限 $2 \times \left(-\frac{1}{6}\right) = -\frac{1}{3}$。