📝 西南财经大学 2023年数学分析真题

1．（20 分）求极限 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_{0}^{x} t \cos t \mathrm{~d} t-1+\cos x}{\sqrt{1+x \tan x}-\sqrt{1+x \sin x}}$ ．

2．（20 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n} n!} x^{n}$ 的和函数．

3．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ，试证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\frac{2 f^{\prime}(\xi)}{1-\xi}$ ．

4．（15 分）已知 $\displaystyle x+y-z=e^{z}, x e^{x}=\tan t, y=\cos t$ ，求 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0},\left.\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} t}\right|_{t=0},\left.\frac{\mathrm{~d}^{2} z}{\mathrm{~d} t^{2}}\right|_{t=0}$ ．

5．（20 分）计算二重积分 $\displaystyle \iint_{D} r^{2} \sin \theta \sqrt{1-r^{2} \cos 2 \theta} \mathrm{~d} r \mathrm{~d} \theta$ ，其中 $\displaystyle D=\left\{0 \leq r \leq \sec \theta, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\right\}$ ．

6．（20 分）证明 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{y}$ 不存在，其中 $\displaystyle x>0, y>0$ ．

7．（20 分）求 $\displaystyle u=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}(a, b, c>0)$ 在条件 $\displaystyle x+y+z=1$ 下的最小值．

8．（15 分）判断反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{\sin \left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^{p}} \mathrm{~d} x$ 的敛散性．