西南财经大学 2023年数学分析第7题
📝 题目
7．（20 分）求 $\displaystyle u=a x^{2}+b y^{2}+c z^{2}(a, b, c>0)$ 在条件 $\displaystyle x+y+z=1$ 下的最小值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立拉格朗日函数
设目标函数 $u = a x^2 + b y^2 + c z^2$，约束条件 $x + y + z = 1$。构造拉格朗日函数：$L(x,y,z,\lambda) = a x^2 + b y^2 + c z^2 + \lambda (1 - x - y - z)$。
公式：L = a x^2 + b y^2 + c z^2 + \lambda (1 - x - y - z)
提示：注意拉格朗日乘数法中，约束条件通常写为 $g(x,y,z)=0$ 的形式，这里 $g(x,y,z)=x+y+z-1$，因此 $L = f + \lambda (1 - x - y - z)$ 是等价的。
步骤 2/6
目标：求偏导数并令其为零
分别对 $x, y, z, \lambda$ 求偏导：
$\frac{\partial L}{\partial x} = 2a x - \lambda = 0$
$\frac{\partial L}{\partial y} = 2b y - \lambda = 0$
$\frac{\partial L}{\partial z} = 2c z - \lambda = 0$
$\frac{\partial L}{\partial \lambda} = 1 - x - y - z = 0$
公式：\begin{cases} 2a x - \lambda = 0 \\ 2b y - \lambda = 0 \\ 2c z - \lambda = 0 \\ 1 - x - y - z = 0 \end{cases}
提示：求偏导时，将 $\lambda$ 视为常数；对 $\lambda$ 求导直接得到约束条件。
步骤 3/6
目标：用 λ 表示 x, y, z
由前三个方程解得：
$x = \frac{\lambda}{2a}, \quad y = \frac{\lambda}{2b}, \quad z = \frac{\lambda}{2c}$
公式：x = \frac{\lambda}{2a}, \quad y = \frac{\lambda}{2b}, \quad z = \frac{\lambda}{2c}
提示：注意 $a,b,c > 0$，分母不为零。
步骤 4/6
目标：代入约束条件求解 λ
将 $x,y,z$ 代入 $x+y+z=1$：
$\frac{\lambda}{2a} + \frac{\lambda}{2b} + \frac{\lambda}{2c} = 1$
提取公因子：$\frac{\lambda}{2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = 1$
解得：$\lambda = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}$
公式：\lambda = \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}
提示：计算时注意通分，避免符号错误。
步骤 5/6
目标：求出极值点坐标
将 $\lambda$ 代回 $x,y,z$ 的表达式：
$x = \frac{1}{a \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)}$
$y = \frac{1}{b \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)}$
$z = \frac{1}{c \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)}$
公式：x = \frac{1}{a \sum \frac{1}{a}}, \quad y = \frac{1}{b \sum \frac{1}{a}}, \quad z = \frac{1}{c \sum \frac{1}{a}}
提示：记 $S = \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$，则 $x = \frac{1}{a S}$，以此类推，便于后续计算。
步骤 6/6
目标：代入原函数求最小值
计算 $u = a x^2 + b y^2 + c z^2$：
$a x^2 = a \cdot \frac{1}{a^2 S^2} = \frac{1}{a S^2}$
同理 $b y^2 = \frac{1}{b S^2}$，$c z^2 = \frac{1}{c S^2}$
相加得：$u = \frac{1}{S^2} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) = \frac{S}{S^2} = \frac{1}{S}$
公式：u_{\min} = \frac{1}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}}
提示：由于 $a,b,c>0$，目标函数是凸函数，约束是线性的，因此该驻点即为全局最小值点。
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