西南财经大学 2023年数学分析第6题
📝 题目
6．（20 分）证明 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x^{y}$ 不存在，其中 $\displaystyle x>0, y>0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解问题与二元极限的定义
题目要求证明极限 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} x^y$ 不存在，其中 $x>0, y>0$。二元函数极限存在要求沿任意路径趋近于 $(0,0)$ 时，函数值都趋于同一个常数。因此，只需找到两条不同路径，使得极限值不同，即可证明极限不存在。
提示：注意二元极限与一元极限的区别，必须考虑所有可能的趋近路径。
步骤 2/6
目标：选取第一条路径：沿直线 y = x
令 $y = x$，则当 $(x,y)\to(0,0)$ 时，$x^y = x^x$。计算 $\lim_{x\to 0^+} x^x$：取自然对数得 $\ln(x^x) = x\ln x$，由 $\lim_{x\to 0^+} x\ln x = 0$，故 $\lim_{x\to 0^+} x^x = e^0 = 1$。因此沿此路径极限为 $1$。
公式：$\lim_{x\to 0^+} x^x = 1$
提示：计算 $x^x$ 的极限时常用取对数法，注意 $x\ln x \to 0$ 是经典结论。
步骤 3/6
目标：选取第二条路径：固定 y 为常数，令 x→0
取 $y = a > 0$ 为固定常数，则当 $x\to 0^+$ 时，$x^y = x^a \to 0$。因此沿此路径极限为 $0$。
公式：$\lim_{x\to 0^+} x^a = 0$（$a>0$）
提示：注意这里 y 固定为正数，x 趋近于 0，与路径一不同。
步骤 4/6
目标：比较两条路径的极限值
路径一（$y=x$）得到极限 $1$，路径二（$y$ 固定）得到极限 $0$。由于 $1 \neq 0$，根据二元极限的定义，原极限不存在。
提示：只要找到两条路径极限值不同，即可断言极限不存在，无需考虑所有路径。
步骤 5/6
目标：补充说明：沿直线 y=kx 的极限
若取 $y = kx$（$k>0$），则 $x^y = x^{kx} = (x^x)^k$，由 $x^x \to 1$ 得 $(x^x)^k \to 1$。这说明沿所有过原点的直线（斜率正）极限均为 $1$，但这并不影响结论，因为存在其他路径（如固定 $y$）得到不同极限。
公式：$\lim_{x\to 0^+} (x^x)^k = 1$
提示：不要被“沿多数路径极限相同”迷惑，只要有一条路径不同，极限就不存在。
步骤 6/6
目标：得出结论
由于存在两条不同路径导致极限值不同，因此 $\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)} x^y$ 不存在。
提示：最终答案应明确表述为“极限不存在”。
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