西南财经大学 2023年数学分析第8题

当 $x\to 0^+$ 时，$\frac{1}{x}\to +\infty$，$\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)$ 快速振荡，但绝对值不超过 $1$。被积函数的绝对值 $\le \frac{1}{x^p}$，但振荡可能带来条件收敛。作变量代换 $t = \frac{1}{x}$，则 $x = \frac{1}{t}$，$\mathrm{d}x = -\frac{1}{t^2}\mathrm{d}t$，积分区间 $[0,1]$ 变为 $[+\infty,1]$，于是 \[ \int_0^1 \frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p}\,\mathrm{d}x = \int_1^{+\infty} \sin\left(t+\frac{1}{t}\right) t^{p-2}\,\mathrm{d}t. \] 当 $t\to +\infty$ 时，$\sin\left(t+\frac{1}{t}\right) \sim \sin t + \frac{\cos t}{t}$，主要项为 $\sin t \cdot t^{p-2}$。由 Dirichlet 判别法，$\int_1^{+\infty} \sin t \cdot t^{\alpha}\,\mathrm{d}t$ 条件收敛当且仅当 $\alpha < 0$，即 $p-2 < 0$，亦即 $p < 2$。因此 $x\to 0^+$ 处积分收敛的条件是 $p < 2$。

当 $x\to +\infty$ 时，$\frac{1}{x}\to 0$，$\sin\left(x+\frac{1}{x}\right) = \sin x \cos\frac{1}{x} + \cos x \sin\frac{1}{x} \sim \sin x + \frac{\cos x}{x}$。于是被积函数 \[ \frac{\sin\left(x+\frac{1}{x}\right)}{x^p} \sim \frac{\sin x}{x^p} + \frac{\cos x}{x^{p+1}}. \] 对于 $\int_A^{+\infty} \frac{\sin x}{x^p}\,\mathrm{d}x$，由 Dirichlet 判别法，当 $p>0$ 时 $\frac{1}{x^p}$ 单调递减趋于 $0$，$\sin x$ 的原函数有界，故积分收敛；当 $p\le 0$ 时，$\frac{1}{x^p}$ 不趋于 $0$，积分发散。第二项 $\frac{\cos x}{x^{p+1}}$ 在 $p+1>0$ 即 $p>-1$ 时绝对收敛，不影响整体。因此 $x\to +\infty$ 处积分收敛的条件是 $p>0$。

由第一步得：$x\to 0^+$ 处收敛需 $p<2$；由第二步得：$x\to +\infty$ 处收敛需 $p>0$。因此整个反常积分收敛当且仅当 $0

公式：0 < p < 2

提示：不要遗漏边界点，需单独验证发散性。