西南财经大学 2023年数学分析第3题
📝 题目
3．（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 在 $\displaystyle [0,1]$ 上二阶可导，且 $\displaystyle f(0)=f(1)=0$ ，试证明存在 $\displaystyle \xi \in(0,1)$ ，使得 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\frac{2 f^{\prime}(\xi)}{1-\xi}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用罗尔定理得到导数为零的点
由于 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(0)=f(1)=0$，由罗尔定理，存在 $c \in (0,1)$ 使得 $f'(c)=0$。
公式：$f'(c)=0$，其中 $c \in (0,1)$
提示：注意罗尔定理的条件是函数在闭区间连续、开区间可导且端点函数值相等。
步骤 2/6
目标：构造辅助函数
构造辅助函数 $\varphi(x) = (1-x)^2 f'(x)$，则 $\varphi(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导。
公式：$\varphi(x) = (1-x)^2 f'(x)$
提示：辅助函数的选择源于目标等式的变形，目的是使导数中出现所需形式。
步骤 3/6
目标：计算辅助函数在两点处的值
由 $f'(c)=0$ 得 $\varphi(c) = (1-c)^2 \cdot 0 = 0$；又 $\varphi(1) = (1-1)^2 f'(1) = 0$。因此 $\varphi(c) = \varphi(1) = 0$。
公式：$\varphi(c)=0$，$\varphi(1)=0$
提示：注意 $\varphi(1)$ 的计算中 $(1-1)^2=0$，无需知道 $f'(1)$ 的值。
步骤 4/6
目标：应用罗尔定理于辅助函数
由于 $\varphi(x)$ 在 $[c,1]$ 上连续，在 $(c,1)$ 内可导，且 $\varphi(c)=\varphi(1)$，由罗尔定理，存在 $\xi \in (c,1) \subset (0,1)$ 使得 $\varphi'(\xi)=0$。
公式：$\varphi'(\xi)=0$，$\xi \in (0,1)$
提示：区间 $[c,1]$ 是 $[0,1]$ 的子区间，$c$ 在 $(0,1)$ 内，因此 $\xi$ 也在 $(0,1)$ 内。
步骤 5/6
目标：计算辅助函数的导数并代入条件
计算 $\varphi'(x) = -2(1-x)f'(x) + (1-x)^2 f''(x) = (1-x)\big[(1-x)f''(x) - 2f'(x)\big]$。代入 $x=\xi$ 且 $\varphi'(\xi)=0$，由于 $\xi \neq 1$（因为 $\xi < 1$），得 $(1-\xi)f''(\xi) - 2f'(\xi)=0$。
公式：$\varphi'(\xi) = (1-\xi)\big[(1-\xi)f''(\xi) - 2f'(\xi)\big] = 0$
提示：注意 $1-\xi > 0$，因此可以约去，得到所需等式。
步骤 6/6
目标：整理得到结论
由 $(1-\xi)f''(\xi) - 2f'(\xi)=0$ 移项得 $f''(\xi) = \dfrac{2f'(\xi)}{1-\xi}$，证毕。
公式：$f''(\xi) = \dfrac{2f'(\xi)}{1-\xi}$
提示：结论中的 $\xi$ 就是由罗尔定理得到的点。
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