西南财经大学 2023年数学分析第4题

当 $t=0$ 时，由 $y=\cos t$ 得 $y(0)=1$；由 $x e^x = \tan t$ 得 $x e^x = 0$，解得 $x(0)=0$；代入 $x+y-z=e^z$ 得 $1-z=e^z$，解得 $z(0)=0$。

对 $x e^x = \tan t$ 两边关于 $t$ 求导：$e^x(1+x)\frac{dx}{dt} = \sec^2 t$。代入 $t=0,\ x=0$ 得 $1\cdot\frac{dx}{dt}=1$，故 $\left.\frac{dx}{dt}\right|_{t=0}=1$。

对 $y=\cos t$ 求导得 $\frac{dy}{dt} = -\sin t$，代入 $t=0$ 得 $\left.\frac{dy}{dt}\right|_{t=0}=0$。

对 $x+y-z=e^z$ 两边关于 $t$ 求导：$\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}-\frac{dz}{dt}=e^z\frac{dz}{dt}$，整理得 $\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}=(1+e^z)\frac{dz}{dt}$。代入 $t=0$ 时 $x=0,y=1,z=0$ 及 $\frac{dx}{dt}=1,\frac{dy}{dt}=0$，得 $1=2\frac{dz}{dt}$，故 $\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=0}=\frac12$。

由 $y=\cos t$，一阶导 $\frac{dy}{dt}=-\sin t$，二阶导 $\frac{d^2 y}{dt^2}=-\cos t$，代入 $t=0$ 得 $\left.\frac{d^2 y}{dt^2}\right|_{t=0}=-1$。

对 $e^x(1+x)\frac{dx}{dt} = \sec^2 t$ 两边关于 $t$ 求导：左边导数为 $e^x(x+2)\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + e^x(1+x)\frac{d^2 x}{dt^2}$，右边导数为 $2\sec^2 t \tan t$。代入 $t=0,\ x=0,\ \frac{dx}{dt}=1$ 得 $2 + \frac{d^2 x}{dt^2}=0$，故 $\left.\frac{d^2 x}{dt^2}\right|_{t=0}=-2$。

对 $\frac{dx}{dt}+\frac{dy}{dt}=(1+e^z)\frac{dz}{dt}$ 两边关于 $t$ 求导：$\frac{d^2 x}{dt^2}+\frac{d^2 y}{dt^2}=e^z\left(\frac{dz}{dt}\right)^2+(1+e^z)\frac{d^2 z}{dt^2}$。代入 $t=0$ 时 $z=0,\ \frac{dz}{dt}=\frac12,\ \frac{d^2 x}{dt^2}=-2,\ \frac{d^2 y}{dt^2}=-1$，得 $-3=\frac14+2\frac{d^2 z}{dt^2}$，解得 $\left.\frac{d^2 z}{dt^2}\right|_{t=0}=-\frac{13}{8}$。