西南财经大学 2023年数学分析第2题
📝 题目
2．（20 分）求级数 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n} n!} x^{n}$ 的和函数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简级数通项
原级数为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^{2}+1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n} n!} x^{n}$。注意到分母中的 $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ 等价于乘以 $2^{n}$，因此通项可改写为：
\[
\frac{n^{2}+1}{\left(\frac{1}{2}\right)^{n} n!} x^{n} = (n^{2}+1) \cdot 2^{n} \cdot \frac{x^{n}}{n!} = (n^{2}+1) \frac{(2x)^{n}}{n!}
\]
于是级数化为 $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} (n^{2}+1) \frac{(2x)^{n}}{n!}$。
公式：$\frac{1}{(\frac{1}{2})^n}=2^n$
提示：注意分母中的指数运算，除以 $\frac{1}{2^n}$ 等于乘以 $2^n$，不要混淆。
步骤 2/5
目标：将级数拆分为两部分
将 $(n^{2}+1)$ 拆开，得到两个级数之和：
\[
\sum_{n=0}^{\infty} (n^{2}+1) \frac{(2x)^{n}}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} n^{2} \frac{(2x)^{n}}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^{n}}{n!}
\]
其中第二个级数即为指数函数 $e^{2x}$。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{t^n}{n!} = e^t$
提示：拆分时注意 $n^2+1$ 是两项之和，分别求和后再相加。
步骤 3/5
目标：计算 $\sum n^2 \frac{t^n}{n!}$ 的表达式
令 $t=2x$，先求 $\sum_{n=0}^{\infty} n^2 \frac{t^n}{n!}$。利用恒等式 $n^2 = n(n-1) + n$，则：
\[
\sum_{n=0}^{\infty} n^2 \frac{t^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) \frac{t^n}{n!} + \sum_{n=0}^{\infty} n \frac{t^n}{n!}
\]
第一个和式：$\sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) \frac{t^n}{n!} = t^2 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{t^{n-2}}{(n-2)!} = t^2 e^t$。
第二个和式：$\sum_{n=0}^{\infty} n \frac{t^n}{n!} = t \sum_{n=1}^{\infty} \frac{t^{n-1}}{(n-1)!} = t e^t$。
因此 $\sum_{n=0}^{\infty} n^2 \frac{t^n}{n!} = (t^2 + t) e^t$。
公式：$\sum_{n=0}^{\infty} n \frac{t^n}{n!}=t e^t$, $\sum_{n=0}^{\infty} n(n-1) \frac{t^n}{n!}=t^2 e^t$
提示：注意求和下限的变化，当 $n=0,1$ 时 $n(n-1)=0$，所以从 $n=2$ 开始求和，结果不变。
步骤 4/5
目标：代入 $t=2x$ 得到原级数的和函数
将 $t=2x$ 代入上述结果：
\[
\sum_{n=0}^{\infty} n^2 \frac{(2x)^n}{n!} = ((2x)^2 + 2x) e^{2x} = (4x^2 + 2x) e^{2x}
\]
而 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2x)^n}{n!} = e^{2x}$。
因此原级数之和为：
\[
(4x^2 + 2x) e^{2x} + e^{2x} = (4x^2 + 2x + 1) e^{2x}
\]
公式：$S(x) = (4x^2 + 2x + 1) e^{2x}$
提示：注意 $t^2 = (2x)^2 = 4x^2$，不要漏掉系数。
步骤 5/5
目标：说明收敛域
原级数化为指数型级数 $\sum (n^2+1) \frac{(2x)^n}{n!}$，其收敛半径由指数函数 $e^{2x}$ 决定，为无穷大。因此和函数 $S(x) = (4x^2+2x+1)e^{2x}$ 对所有实数 $x$ 成立。
公式：收敛半径 $R = \infty$
提示：指数级数 $\sum \frac{t^n}{n!}$ 对任意 $t$ 收敛，所以 $x$ 取任意实数均可。
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