西南财经大学 2026年数学分析第4题
📝 题目
4．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}$ 的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：化简通项并写出级数形式
原级数为 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}$。由于 $\sqrt[n]{n} = n^{1/n}$，所以通项可化为 $a_n = \frac{(-1)^n}{n \cdot n^{1/n}} = \frac{(-1)^n}{n^{1 + 1/n}}$。
公式：$a_n = \frac{(-1)^n}{n^{1+1/n}}$
提示：注意 $n^{1/n} \to 1$ 是后续比较的关键。
步骤 2/5
目标：判断是否绝对收敛：分析绝对值级数
考虑绝对值级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{1+1/n}}$。因为 $n^{1/n} \to 1$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，$n^{1/n} < 2$，从而 $\frac{1}{n^{1+1/n}} > \frac{1}{2n}$。而调和级数 $\sum \frac{1}{2n}$ 发散，由比较判别法知绝对值级数发散。
公式：$\frac{1}{n^{1+1/n}} > \frac{1}{2n}$（当 $n$ 充分大时）
提示：不要误以为 $n^{1/n} \to 1$ 就认为通项与 $1/n$ 同阶，需要严格用不等式放缩。
步骤 3/5
目标：验证交错级数的莱布尼茨条件：单调递减性
令 $b_n = \frac{1}{n^{1+1/n}} > 0$。考虑函数 $f(x) = x^{1+1/x}$，取对数得 $\ln f(x) = \left(1+\frac{1}{x}\right)\ln x = \ln x + \frac{\ln x}{x}$。求导：$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{1}{x} + \frac{1-\ln x}{x^2} = \frac{x+1-\ln x}{x^2}$。当 $x \ge 1$ 时，$x+1-\ln x > 0$，故 $f'(x) > 0$，$f(x)$ 递增，从而 $b_n = 1/f(n)$ 递减（对 $n \ge 1$ 成立）。
公式：$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{x+1-\ln x}{x^2} > 0$
提示：单调性证明需严格，不能仅凭直观认为 $n^{1/n}$ 趋于1就认为 $b_n$ 单调。
步骤 4/5
目标：验证莱布尼茨条件：通项趋于零
由于 $n^{1/n} \to 1$，所以 $b_n = \frac{1}{n \cdot n^{1/n}} \sim \frac{1}{n} \to 0$，即 $\lim_{n \to \infty} b_n = 0$。
公式：$\lim_{n \to \infty} b_n = 0$
提示：极限为0是交错级数收敛的必要条件，不可忽略。
步骤 5/5
目标：应用莱布尼茨判别法并得出结论
原级数是交错级数 $\sum (-1)^n b_n$，其中 $b_n$ 单调递减且趋于0，由莱布尼茨判别法知级数收敛。但绝对值级数发散，故原级数条件收敛。
公式：莱布尼茨判别法：若 $b_n$ 单调递减且 $\lim b_n = 0$，则 $\sum (-1)^n b_n$ 收敛。
提示：条件收敛意味着原级数收敛但绝对值级数发散，两者缺一不可。
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