📝 西南财经大学 2026年数学分析真题

1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}+2}\right)^{\frac{1}{n}}\left(1-\frac{1}{3^{2}+3}\right)^{\frac{1}{n}} \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}+n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．

2．求 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{4}+y^{4}\right)$ 在条件 $\displaystyle x+y=a(x, y \geq 0)$ 下的最小值，并在此基础上证明不等式：

$$
\frac{x^{4}+y^{4}}{2} \geq\left(\frac{x+y}{2}\right)^{4}
$$

3．已知 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$, 二元函数 $\displaystyle g(x, y)=f\left(x^{2}+y^{2}, x y\right)$ ，证明：$\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=x^{2}-y^{2}$ ．

4．讨论级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n \sqrt[n]{n}}$ 的敛散性，如果收敛，是绝对收敛还是条件收敛？

5．已知二元函数

$$
f(x, y)= \begin{cases}e^{-(x+y)}, & x y>0 \\ 1, & x y \leq 0\end{cases}
$$

积分区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y)|0 \leq|x|+|y| \leq 1\}\right.$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．

6．已知 $\displaystyle u_{1}>0, u_{n} e^{u_{n+1}}=e^{u_{n}}-1(n=1,2, \cdots)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 存在，并求其值．

7．已知 $\displaystyle f(x)$ 二阶连续可微，证明：

$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{2}(b-a)[f(a)+f(b)]=\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{\prime \prime}(x)(x-a)(x-b) \mathrm{d} x
$$

8．设函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，$\displaystyle f(0)>0$ 且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geq 0, x \in[0,+\infty)$ ，证明：若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x$收玫，则反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛．