西南财经大学 2026年数学分析第5题
📝 题目
5．已知二元函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}e^{-(x+y)}, & x y>0 \\ 1, & x y \leq 0\end{cases}
$$
积分区域 $\displaystyle D=\left\{(x, y)|0 \leq|x|+|y| \leq 1\}\right.$ ，求 $\displaystyle \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解积分区域 D 的形状与对称性
区域 $D$ 由 $0 \le |x| + |y| \le 1$ 定义，这是一个中心在原点的菱形（旋转45°的正方形），顶点为 $(1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1)$。该区域关于 $x$ 轴、$y$ 轴以及直线 $y=x$ 对称。
公式：$|x|+|y|\le 1$
提示：注意区域包含边界，但边界测度为0，不影响积分值。
步骤 2/6
目标：分析函数的分段条件
函数 $f(x,y)$ 定义为：
- 当 $xy>0$（即 $x$ 与 $y$ 同号，第一和第三象限）时，$f(x,y)=e^{-(x+y)}$；
- 当 $xy\le 0$（即 $x$ 与 $y$ 异号或至少一个为零，第二和第四象限及坐标轴）时，$f(x,y)=1$。
公式：$f(x,y)=\begin{cases} e^{-(x+y)}, & xy>0 \\ 1, & xy\le 0 \end{cases}$
提示：坐标轴上的点属于第二类，但测度为0，不影响积分。
步骤 3/6
目标：利用对称性将积分分解为四个象限
由于区域对称且函数在对称象限取值相同，只需计算第一象限和第二象限的积分，然后乘以2：
- 第一象限（$x\ge0,y\ge0$）：$xy>0$，函数为 $e^{-(x+y)}$，区域为 $x+y\le1$。
- 第二象限（$x\le0,y\ge0$）：$xy\le0$，函数为 $1$，区域为 $-x+y\le1$。
公式：$\iint_D f = 2\iint_{Q1} e^{-(x+y)} + 2\iint_{Q2} 1$
提示：第三象限与第一象限对称，第四象限与第二象限对称。
步骤 4/6
目标：计算第一象限的积分
第一象限内，$x\ge0, y\ge0, x+y\le1$。先对 $y$ 积分：
$$I_1 = \int_{x=0}^{1} e^{-x} \left( \int_{y=0}^{1-x} e^{-y} dy \right) dx$$
内层积分：$\int_{0}^{1-x} e^{-y} dy = 1 - e^{-(1-x)}$，代入得：
$$I_1 = \int_{0}^{1} e^{-x} (1 - e^{-(1-x)}) dx = \int_{0}^{1} (e^{-x} - e^{-1}) dx$$
计算得：$\int_{0}^{1} e^{-x} dx = 1 - e^{-1}$，$\int_{0}^{1} e^{-1} dx = e^{-1}$，所以 $I_1 = 1 - 2e^{-1}$。
公式：$I_1 = 1 - \frac{2}{e}$
提示：注意 $e^{-(1-x)}$ 与 $e^{-1}e^{x}$ 的化简，避免符号错误。
步骤 5/6
目标：计算第二象限的积分
第二象限内，$x\le0, y\ge0$，条件 $|x|+y = -x+y \le 1$，区域为直角三角形，顶点 $(0,0), (-1,0), (0,1)$，面积为 $\frac{1}{2}$。函数值为常数 $1$，因此：
$$I_2 = \iint_{Q2} 1 \, dxdy = \frac{1}{2}$$
公式：$I_2 = \frac{1}{2}$
提示：面积可直接用三角形面积公式 $\frac{1}{2}\times\text{底}\times\text{高}$ 得到。
步骤 6/6
目标：组合所有象限的积分结果
由对称性：
- 第一象限和第三象限各贡献 $I_1$，总和为 $2I_1 = 2(1-2e^{-1})$。
- 第二象限和第四象限各贡献 $I_2 = \frac{1}{2}$，总和为 $1$。
总积分：
$$\iint_D f \, dxdy = 2(1-2e^{-1}) + 1 = 2 - \frac{4}{e} + 1 = 3 - \frac{4}{e}$$
公式：$\iint_D f = 3 - \frac{4}{e}$
提示：最终结果需合并常数项，注意 $e^{-1}$ 写为 $\frac{1}{e}$。
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