西南财经大学 2026年数学分析第8题
📝 题目
8．设函数 $f$ 在 $\displaystyle [0,+\infty)$ 上连续可导，$\displaystyle f(0)>0$ 且 $\displaystyle f^{\prime}(x) \geq 0, x \in[0,+\infty)$ ，证明：若 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f^{\prime}(x)} \mathrm{d} x$收玫，则反常积分 $\displaystyle \int_{0}^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 也收敛．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析函数基本性质
由条件 $f'(x) \ge 0$ 知 $f$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调不减，且 $f(0) > 0$，故对任意 $x \ge 0$ 有 $f(x) \ge f(0) > 0$。因此 $\frac{1}{f(x)}$ 在任意有限区间上连续，无瑕点，只需考虑无穷远处的收敛性。
公式：f(x) \ge f(0) > 0
提示：注意 $f$ 恒正保证了分母不为零，避免局部奇点。
步骤 2/4
目标：建立两个被积函数之间的恒等关系
利用恒等式：
\[
\frac{1}{f(x)} = \frac{f(x)+f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))} = \frac{1}{f(x)+f'(x)} + \frac{f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))}.
\]
两边在 $[0,R]$ 上积分得：
\[
\int_0^R \frac{1}{f(x)} \, dx = \int_0^R \frac{1}{f(x)+f'(x)} \, dx + \int_0^R \frac{f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))} \, dx.
\]
公式：\frac{1}{f} = \frac{1}{f+f'} + \frac{f'}{f(f+f')}
提示：这是证明的关键技巧：将较大的被积函数拆分为已知收敛部分和可估计部分。
步骤 3/4
目标：估计第二项积分
由于 $f'(x) \ge 0$，有 $f(x)+f'(x) \ge f(x)$，因此
\[
\frac{f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))} \le \frac{f'(x)}{f(x) \cdot f(x)} = \frac{f'(x)}{f^2(x)}.
\]
注意到 $\frac{f'(x)}{f^2(x)} = -\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{f(x)}\right)$，于是
\[
\int_0^R \frac{f'(x)}{f^2(x)} \, dx = \frac{1}{f(0)} - \frac{1}{f(R)} \le \frac{1}{f(0)}.
\]
由比较判别法，$\int_0^R \frac{f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))} \, dx$ 关于 $R$ 单调递增且有上界，故当 $R \to +\infty$ 时收敛。
公式：\frac{f'}{f(f+f')} \le \frac{f'}{f^2} = -\left(\frac{1}{f}\right)'
提示：利用 $f$ 单调不减得到 $1/f(R) \ge 0$，从而积分有界。
步骤 4/4
目标：综合得出结论
由题设，$\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f'(x)} \, dx$ 收敛；由第三步，$\int_0^{+\infty} \frac{f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))} \, dx$ 也收敛。因此它们的和
\[
\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \, dx = \int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)+f'(x)} \, dx + \int_0^{+\infty} \frac{f'(x)}{f(x)(f(x)+f'(x))} \, dx
\]
收敛。证毕。
公式：\int_0^\infty \frac{1}{f} = \int_0^\infty \frac{1}{f+f'} + \int_0^\infty \frac{f'}{f(f+f')}
提示：两个收敛积分的和仍然收敛，注意这里两个积分都是正项积分。
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