西南财经大学 2026年数学分析第7题
📝 题目
7．已知 $\displaystyle f(x)$ 二阶连续可微，证明：
$$
\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\frac{1}{2}(b-a)[f(a)+f(b)]=\frac{1}{2} \int_{a}^{b} f^{\prime \prime}(x)(x-a)(x-b) \mathrm{d} x
$$
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入辅助函数或利用分部积分
观察要证明的等式右边含有因子 $(x-a)(x-b)$，它在端点处为零，这提示我们可以尝试用分部积分法，把右边的二阶导数转移给这个二次多项式。
公式：\int_a^b f''(x)(x-a)(x-b) \, dx
提示：注意 $(x-a)(x-b)$ 在端点处为零，这是分部积分后边界项消失的关键。
步骤 2/5
目标：对右边进行第一次分部积分
令 $u = (x-a)(x-b)$，$dv = f''(x) dx$，则 $du = (2x - a - b) dx$，$v = f'(x)$。由分部积分公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ 得：
\[
\int_a^b f''(x)(x-a)(x-b) \, dx = \left[ (x-a)(x-b) f'(x) \right]_a^b - \int_a^b f'(x)(2x - a - b) \, dx
\]
由于在 $x=a$ 和 $x=b$ 时 $(x-a)(x-b)=0$，所以第一项为零，于是：
\[
\int_a^b f''(x)(x-a)(x-b) \, dx = - \int_a^b f'(x)(2x - a - b) \, dx
\]
公式：\int_a^b f''(x)(x-a)(x-b) \, dx = - \int_a^b f'(x)(2x - a - b) \, dx
提示：分部积分后边界项为零，不要忘记检查端点代入结果。
步骤 3/5
目标：进行第二次分部积分
对 $-\int_a^b f'(x)(2x - a - b) \, dx$ 再做一次分部积分。令 $u = 2x - a - b$，$dv = f'(x) dx$，则 $du = 2 dx$，$v = f(x)$。于是：
\[
\int_a^b f'(x)(2x - a - b) \, dx = \left[ (2x - a - b) f(x) \right]_a^b - \int_a^b f(x) \cdot 2 \, dx
\]
计算边界项：在 $x=b$ 时，$2b - a - b = b-a$；在 $x=a$ 时，$2a - a - b = a-b = -(b-a)$。所以边界项为：
\[
(b-a)f(b) - (-(b-a))f(a) = (b-a)[f(b) + f(a)]
\]
因此：
\[
\int_a^b f'(x)(2x - a - b) \, dx = (b-a)[f(a)+f(b)] - 2\int_a^b f(x) \, dx
\]
公式：\int_a^b f'(x)(2x - a - b) \, dx = (b-a)[f(a)+f(b)] - 2\int_a^b f(x) \, dx
提示：注意边界项符号：$x=a$ 时 $2x-a-b = -(b-a)$，代入后要小心负号。
步骤 4/5
目标：代回原式并整理
由第二步结果：
\[
\int_a^b f''(x)(x-a)(x-b) \, dx = - \left[ (b-a)(f(a)+f(b)) - 2\int_a^b f(x) \, dx \right]
\]
即：
\[
\int_a^b f''(x)(x-a)(x-b) \, dx = 2\int_a^b f(x) \, dx - (b-a)(f(a)+f(b))
\]
公式：\int_a^b f''(x)(x-a)(x-b) \, dx = 2\int_a^b f(x) \, dx - (b-a)(f(a)+f(b))
提示：注意负号分配，避免符号错误。
步骤 5/5
目标：两边除以2得到最终等式
将上一步等式两边同时除以2：
\[
\frac12 \int_a^b f''(x)(x-a)(x-b) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx - \frac{b-a}{2}[f(a)+f(b)]
\]
这正是要证明的等式。
公式：\int_{a}^{b} f(x) \, dx - \frac{1}{2}(b-a)[f(a)+f(b)] = \frac{1}{2} \int_{a}^{b} f''(x)(x-a)(x-b) \, dx
提示：最终结果与题目一致，注意等式两边形式。
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