西南财经大学 2026年数学分析第3题
📝 题目
3．已知 $\displaystyle 4 \frac{\partial^{2} f}{\partial u^{2}}-\frac{\partial^{2} f}{\partial v^{2}}=1$, 二元函数 $\displaystyle g(x, y)=f\left(x^{2}+y^{2}, x y\right)$ ，证明：$\displaystyle \frac{\partial^{2} g}{\partial x^{2}}-\frac{\partial^{2} g}{\partial y^{2}}=x^{2}-y^{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：建立变量关系，定义中间变量u和v
令 $u = x^2 + y^2$, $v = xy$，则 $g(x, y) = f(u, v)$。
公式：$u = x^2 + y^2$, $v = xy$
提示：注意u和v都是x和y的函数，后续求导需要使用链式法则。
步骤 2/6
目标：求g的一阶偏导数
对x求偏导：$\frac{\partial g}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial x} = 2x f_u + y f_v$。
对y求偏导：$\frac{\partial g}{\partial y} = \frac{\partial f}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial f}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial y} = 2y f_u + x f_v$。
公式：$\frac{\partial g}{\partial x} = 2x f_u + y f_v$, $\frac{\partial g}{\partial y} = 2y f_u + x f_v$
提示：f_u和f_v仍然是u,v的函数，不能视为常数。
步骤 3/6
目标：求g对x的二阶偏导数
对$\frac{\partial g}{\partial x} = 2x f_u + y f_v$再对x求导：
$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 2 f_u + 2x \frac{\partial f_u}{\partial x} + y \frac{\partial f_v}{\partial x}$。
其中$\frac{\partial f_u}{\partial x} = f_{uu} \cdot 2x + f_{uv} \cdot y = 2x f_{uu} + y f_{uv}$，
$\frac{\partial f_v}{\partial x} = f_{vu} \cdot 2x + f_{vv} \cdot y = 2x f_{uv} + y f_{vv}$（假设混合偏导连续）。
代入得：$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 2 f_u + 2x(2x f_{uu} + y f_{uv}) + y(2x f_{uv} + y f_{vv}) = 2 f_u + 4x^2 f_{uu} + 4xy f_{uv} + y^2 f_{vv}$。
公式：$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} = 2 f_u + 4x^2 f_{uu} + 4xy f_{uv} + y^2 f_{vv}$
提示：注意对f_u和f_v求导时，要使用链式法则，不要遗漏项。
步骤 4/6
目标：求g对y的二阶偏导数
对$\frac{\partial g}{\partial y} = 2y f_u + x f_v$再对y求导：
$\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 2 f_u + 2y \frac{\partial f_u}{\partial y} + x \frac{\partial f_v}{\partial y}$。
其中$\frac{\partial f_u}{\partial y} = f_{uu} \cdot 2y + f_{uv} \cdot x = 2y f_{uu} + x f_{uv}$，
$\frac{\partial f_v}{\partial y} = f_{vu} \cdot 2y + f_{vv} \cdot x = 2y f_{uv} + x f_{vv}$。
代入得：$\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 2 f_u + 2y(2y f_{uu} + x f_{uv}) + x(2y f_{uv} + x f_{vv}) = 2 f_u + 4y^2 f_{uu} + 4xy f_{uv} + x^2 f_{vv}$。
公式：$\frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = 2 f_u + 4y^2 f_{uu} + 4xy f_{uv} + x^2 f_{vv}$
提示：与求x的二阶偏导对称，注意x和y的角色互换。
步骤 5/6
目标：计算二阶偏导数的差并化简
作差：
$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = (2 f_u + 4x^2 f_{uu} + 4xy f_{uv} + y^2 f_{vv}) - (2 f_u + 4y^2 f_{uu} + 4xy f_{uv} + x^2 f_{vv})$。
消去$2f_u$和$4xy f_{uv}$，得：
$= 4x^2 f_{uu} + y^2 f_{vv} - 4y^2 f_{uu} - x^2 f_{vv}$
$= (4x^2 - 4y^2) f_{uu} + (y^2 - x^2) f_{vv}$
$= 4(x^2 - y^2) f_{uu} - (x^2 - y^2) f_{vv}$
$= (x^2 - y^2)(4 f_{uu} - f_{vv})$。
公式：$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = (x^2 - y^2)(4 f_{uu} - f_{vv})$
提示：合并同类项时注意符号，提取公因式(x^2-y^2)。
步骤 6/6
目标：利用已知条件完成证明
已知 $4 \frac{\partial^2 f}{\partial u^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial v^2} = 1$，即 $4 f_{uu} - f_{vv} = 1$。
代入上式：
$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = (x^2 - y^2) \cdot 1 = x^2 - y^2$。
证毕。
公式：$\frac{\partial^2 g}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 g}{\partial y^2} = x^2 - y^2$
提示：注意已知条件中的偏导是对u和v的，不要混淆。
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