西南财经大学 2026年数学分析第2题
📝 题目
2．求 $\displaystyle z=\frac{1}{2}\left(x^{4}+y^{4}\right)$ 在条件 $\displaystyle x+y=a(x, y \geq 0)$ 下的最小值，并在此基础上证明不等式：
$$
\frac{x^{4}+y^{4}}{2} \geq\left(\frac{x+y}{2}\right)^{4}
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将条件极值问题转化为一元函数最值问题
给定 $z = \frac{1}{2}(x^4 + y^4)$，约束条件 $x + y = a$，$x, y \ge 0$。令 $y = a - x$，其中 $0 \le x \le a$，则 $z = \frac{1}{2}[x^4 + (a - x)^4]$。
公式：$z(x) = \frac{1}{2}[x^4 + (a - x)^4]$
提示：注意定义域为闭区间 $[0, a]$，需考虑端点。
步骤 2/4
目标：求导并找到驻点
对 $z(x)$ 求导：$z'(x) = \frac{1}{2}[4x^3 + 4(a-x)^3 \cdot (-1)] = 2x^3 - 2(a-x)^3$。令 $z'(x) = 0$，得 $2x^3 - 2(a-x)^3 = 0$，即 $x^3 = (a-x)^3$。由于立方函数单调，解得 $x = a - x$，即 $x = \frac{a}{2}$，此时 $y = \frac{a}{2}$。
公式：$x = \frac{a}{2}$
提示：注意立方函数是单调递增的，因此 $x^3 = (a-x)^3$ 等价于 $x = a-x$。
步骤 3/4
目标：比较端点与驻点处的函数值
计算各点函数值：
- 当 $x = 0$ 时，$z = \frac{1}{2}(0 + a^4) = \frac{a^4}{2}$；
- 当 $x = a$ 时，$z = \frac{a^4}{2}$；
- 当 $x = \frac{a}{2}$ 时，$z = \frac{1}{2}\left[\left(\frac{a}{2}\right)^4 + \left(\frac{a}{2}\right)^4\right] = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot \frac{a^4}{16} = \frac{a^4}{16}$。
由于 $\frac{a^4}{16} < \frac{a^4}{2}$，最小值在 $x = y = \frac{a}{2}$ 处取得。
公式：$z_{\min} = \frac{a^4}{16}$
提示：端点值相等，驻点值更小，故驻点为最小值点。
步骤 4/4
目标：将最小值结果转化为不等式
由条件极值结果，对任意满足 $x+y=a$ 的非负实数 $x,y$，有 $\frac{1}{2}(x^4 + y^4) \ge \frac{a^4}{16}$。代入 $a = x+y$，得 $\frac{x^4 + y^4}{2} \ge \frac{(x+y)^4}{16}$。而 $\frac{(x+y)^4}{16} = \left(\frac{x+y}{2}\right)^4$，因此 $\frac{x^4 + y^4}{2} \ge \left(\frac{x+y}{2}\right)^4$，等号当且仅当 $x=y$ 时成立。
公式：$\frac{x^4 + y^4}{2} \ge \left(\frac{x+y}{2}\right)^4$
提示：注意等号成立条件与极值点一致。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。