西南财经大学 2026年数学分析第1题
📝 题目
1．求极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(1-\frac{1}{2^{2}+2}\right)^{\frac{1}{n}}\left(1-\frac{1}{3^{2}+3}\right)^{\frac{1}{n}} \cdots\left(1-\frac{1}{n^{2}+n}\right)^{\frac{1}{n}}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：将乘积写成指数形式
原极限为 \(\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{2^2+2}\right)^{\frac{1}{n}} \left(1-\frac{1}{3^2+3}\right)^{\frac{1}{n}} \cdots \left(1-\frac{1}{n^2+n}\right)^{\frac{1}{n}}\)。由于每个因子的指数都是 \(\frac{1}{n}\)，可合并为 \(\left[ \prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{k^2+k}\right) \right]^{\frac{1}{n}}\)。
公式：\prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{k^2+k}\right)^{\frac{1}{n}} = \left[ \prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{k^2+k}\right) \right]^{\frac{1}{n}}
提示：注意指数相同，可以提取公指数，但不要误将指数分配到每个因子内部。
步骤 2/7
目标：化简通项
注意到 \(k^2+k = k(k+1)\)，所以 \(1-\frac{1}{k^2+k} = 1-\frac{1}{k(k+1)} = \frac{k(k+1)-1}{k(k+1)} = \frac{k^2+k-1}{k(k+1)}\)。
公式：1-\frac{1}{k(k+1)} = \frac{k^2+k-1}{k(k+1)}
提示：分母分解为 \(k(k+1)\) 是常见技巧，便于后续处理。
步骤 3/7
目标：取对数转化为求和
设 \(P_n = \prod_{k=2}^{n} \left(1-\frac{1}{k(k+1)}\right)\)，则原极限为 \(\lim_{n\to\infty} P_n^{1/n}\)。取对数得 \(\frac{1}{n} \sum_{k=2}^{n} \ln\left(1-\frac{1}{k(k+1)}\right)\)。
公式：\ln\left(P_n^{1/n}\right) = \frac{1}{n} \sum_{k=2}^{n} \ln\left(1-\frac{1}{k(k+1)}\right)
提示：取对数是处理乘积极限的常用方法，注意对数运算性质。
步骤 4/7
目标：对对数项进行渐近展开
当 \(k\) 较大时，\(\frac{1}{k(k+1)}\) 很小，利用 \(\ln(1-x) = -x + O(x^2)\)，有 \(\ln\left(1-\frac{1}{k(k+1)}\right) = -\frac{1}{k(k+1)} + O\left(\frac{1}{k^4}\right)\)。
公式：\ln\left(1-\frac{1}{k(k+1)}\right) = -\frac{1}{k(k+1)} + O\left(\frac{1}{k^4}\right)
提示：注意余项 \(O(1/k^4)\) 的级数收敛，不影响极限的常数部分。
步骤 5/7
目标：计算主要部分的和
求和 \(\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k(k+1)}\) 可裂项：\(\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}\)，因此 \(\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + \cdots + \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}\right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}\)。
公式：\sum_{k=2}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}
提示：裂项相消是处理此类求和的经典方法，注意首项和末项。
步骤 6/7
目标：代入对数求和并取极限
于是 \(\sum_{k=2}^{n} \ln\left(1-\frac{1}{k(k+1)}\right) = -\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{n+1}\right) + C_n\)，其中 \(C_n\) 由余项 \(O(1/k^4)\) 求和得到，且 \(\lim_{n\to\infty} C_n\) 存在（收敛级数）。因此 \(\frac{1}{n} \sum_{k=2}^{n} \ln(\cdots) = \frac{1}{n} \left( -\frac{1}{2} + \frac{1}{n+1} + C_n \right) \to 0\) 当 \(n\to\infty\)。
公式：\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=2}^{n} \ln\left(1-\frac{1}{k(k+1)}\right) = 0
提示：主要部分和为常数，除以 \(n\) 后趋于0；余项部分有界，除以 \(n\) 也趋于0。
步骤 7/7
目标：得出原极限值
由对数极限为0，得原极限 \(\lim_{n\to\infty} P_n^{1/n} = e^0 = 1\)。
公式：\lim_{n \to \infty} \left(1-\frac{1}{2^{2}+2}\right)^{\frac{1}{n}} \cdots \left(1-\frac{1}{n^{2}+n}\right)^{\frac{1}{n}} = 1
提示：最终结果简洁，但需注意每一步的渐近分析要严谨。
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