西南财经大学 2026年数学分析第6题
📝 题目
6．已知 $\displaystyle u_{1}>0, u_{n} e^{u_{n+1}}=e^{u_{n}}-1(n=1,2, \cdots)$ ，证明： $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} u_{n}$ 存在，并求其值．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：改写递推关系，得到显式表达式
由条件 $u_n e^{u_{n+1}} = e^{u_n} - 1$，因为 $u_n > 0$（待证），两边除以 $u_n$ 得 $e^{u_{n+1}} = \frac{e^{u_n} - 1}{u_n}$，两边取自然对数得 $u_{n+1} = \ln\left(\frac{e^{u_n} - 1}{u_n}\right)$。
公式：$u_{n+1} = \ln\left(\frac{e^{u_n} - 1}{u_n}\right)$
提示：注意 $u_n$ 可能为0，需先证明所有 $u_n > 0$ 才能进行除法。
步骤 2/6
目标：证明所有项为正数
考虑函数 $g(x) = \frac{e^x - 1}{x}$，$x>0$。由 $e^x > 1 + x + \frac{x^2}{2}$ 得 $g(x) > 1 + \frac{x}{2} > 1$，因此 $\ln(g(x)) > 0$。由 $u_1 > 0$ 及 $u_{n+1} = \ln(g(u_n))$，归纳可得所有 $u_n > 0$。
公式：$g(x) = \frac{e^x - 1}{x} > 1$ 当 $x>0$
提示：归纳法证明时，要确保每一步的 $u_n$ 都满足 $x>0$ 的条件。
步骤 3/6
目标：判断数列单调性
比较 $u_{n+1}$ 与 $u_n$ 的大小，即比较 $\ln\left(\frac{e^{u_n} - 1}{u_n}\right)$ 与 $u_n$，等价于比较 $\frac{e^x - 1}{x}$ 与 $e^x$。令 $h(x) = e^x(1-x) - 1$，则 $h(0)=0$，$h'(x) = -x e^x < 0$（$x>0$），故 $h(x) < 0$，即 $\frac{e^x - 1}{x} < e^x$，从而 $u_{n+1} < u_n$，数列严格递减。
公式：$\frac{e^x - 1}{x} < e^x$ 对 $x>0$ 恒成立
提示：单调性判断可转化为函数不等式，注意导数符号的验证。
步骤 4/6
目标：证明极限存在
数列 $\{u_n\}$ 严格递减且有下界 $0$（所有项为正），由单调有界定理，极限存在，记 $\lim_{n\to\infty} u_n = L \ge 0$。
公式：单调递减有下界 ⇒ 极限存在
提示：下界不一定是0，但这里已知 $u_n > 0$，故0是一个下界。
步骤 5/6
目标：求解极限值
对递推式 $u_n e^{u_{n+1}} = e^{u_n} - 1$ 两边取极限，得 $L e^L = e^L - 1$，整理得 $e^L (1 - L) = 1$。令 $\phi(L) = e^L (1 - L)$，则 $\phi(0)=1$，且 $\phi'(L) = -L e^L < 0$（$L>0$），故 $\phi(L)$ 在 $L>0$ 时严格递减，因此方程在 $L \ge 0$ 上唯一解为 $L=0$。
公式：$L e^L = e^L - 1 \Rightarrow e^L (1 - L) = 1$
提示：注意 $L=0$ 代入满足方程，且需验证唯一性，避免遗漏其他解。
步骤 6/6
目标：得出结论
由以上推导，极限存在且为 $0$，即 $\displaystyle \lim_{n\to\infty} u_n = 0$。
公式：$\lim_{n\to\infty} u_n = 0$
提示：最终答案需明确写出极限值。
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