📝 广西民族大学 2010年高等代数真题
第1题
1．（15 分）计算下列行列式：
$$
\left|\begin{array}{cccc}
x_{1}-m & x_{2} & \cdots & x_{n} \\
x_{1} & x_{2}-m & \cdots & x_{n} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}-m
\end{array}\right| .
$$
$$
\left|\begin{array}{cccc}
x_{1}-m & x_{2} & \cdots & x_{n} \\
x_{1} & x_{2}-m & \cdots & x_{n} \\
\vdots & \vdots & \cdots & \vdots \\
x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{n}-m
\end{array}\right| .
$$
第2题
2．（15 分）已知
$$
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0
\end{array}\right]
$$
求一正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{T}$ 使 $\displaystyle \mathbf{T}^{\prime} \mathbf{A T}$ 成对角形。
$$
\mathbf{A}=\left[\begin{array}{ccc}
0 & 1 & -1 \\
1 & 0 & 1 \\
-1 & 1 & 0
\end{array}\right]
$$
求一正交矩阵 $\displaystyle \mathbf{T}$ 使 $\displaystyle \mathbf{T}^{\prime} \mathbf{A T}$ 成对角形。
第3题
3．（15 分）已知 $\displaystyle \eta_{1}=(-1,0,2), \eta_{2}=(0,1,1), \eta_{3}=(3,-1,0)$ 。 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $\displaystyle P^{3}$ 中的线性变换，且 $\displaystyle \mathbf{A} \eta_{1}=(-5,0,3), \mathbf{A} \eta_{2}=(0,-1,6), \mathbf{A} \eta_{3}=(-5,-1,9)$ 。求 $\displaystyle \mathbf{A}$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}=(1,0,0), \varepsilon_{2}=(0,1,0)$ ， $\displaystyle \varepsilon_{3}=(0,0,1)$ 下的矩阵。
第5题
5．（15 分）证明：如果方程组
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n}
\end{array}\right.
$$
对任何 $\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 都有解，则 $\displaystyle \left|\left(a_{i j}\right)_{n n}\right| \neq 0$ 。
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=b_{1} \\
a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=b_{2} \\
\cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_{1}+a_{n 2} x_{2}+\cdots+a_{n n} x_{n}=b_{n}
\end{array}\right.
$$
对任何 $\displaystyle b_{1}, b_{2}, \cdots, b_{n}$ 都有解，则 $\displaystyle \left|\left(a_{i j}\right)_{n n}\right| \neq 0$ 。
第6题
6．（15 分）设 $\displaystyle X=\left(\begin{array}{cc}0 & A \\ C & 0\end{array}\right)$ ，已知 $\displaystyle A, C$ 可逆，求 $\displaystyle X^{-1}$ 。
第7题
7．（15 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 是 $n$ 级方阵，若对任意的 $n$ 维向量 $x$ ，有 $\displaystyle \mathbf{A} x=\mathbf{0}$ ，则 $\displaystyle A=0$ 。
第8题
8．（15 分）设 A 是一个 n 阶实对称矩阵，且 $\displaystyle |\mathrm{A}|<0$ 。证明存在实 n 维向量 X 使得 $\displaystyle \mathrm{X}^{\prime} \mathrm{AX}<0$ 。
第9题
9．（15分）设 $\displaystyle \varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \varepsilon_{3}, \varepsilon_{4}$ 是四维线性空间 $V$ 的一组基，已知线性变换 $f$ 在这组基下的矩
阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ，
求：（1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵
（2）求线性变换 f 的核和值域。
阵为 $\displaystyle \left(\begin{array}{cccc}1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 5 \\ 2 & 2 & 1 & -2\end{array}\right)$ ，
求：（1）线性变换 $f$ 在基 $\displaystyle \eta_{1}=\varepsilon_{1}-2 \varepsilon_{2}+\varepsilon_{4}, \eta_{2}=3 \varepsilon_{2}-\varepsilon_{3}-\varepsilon_{4}, \eta_{3}=\varepsilon_{3}+\varepsilon_{4}, \eta_{4}=2 \varepsilon_{4}$ 下的矩阵
（2）求线性变换 f 的核和值域。
第10题
10．（15 分） A 是一个 n 阶矩阵， $\displaystyle \mathrm{A}^{2}=4 \mathrm{~A}, \mathrm{~A}$ 的秩为 r ，计算 $\displaystyle |\mathrm{A}-3 \mathrm{I}|$ ，其中 I 为单位矩阵。