人邮高数 第2章 第2-6-4题
📝 题目
4．讨论方程 $\ln x=a x$（其中 $a\gt 0$ ）有几个实根。
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑方程 $$ \ln x = a x, \quad a > 0. $$ 定义函数 $$ f(x) = \ln x - a x, \quad x > 0. $$ 方程实根个数即函数 $f(x)$ 的零点个数。
首先求导： $$ f'(x) = \frac{1}{x} - a. $$ 令 $f'(x) = 0$，得 $$ \frac{1}{x} = a \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{a}. $$ 这是唯一驻点。 当 $0 < x < \frac{1}{a}$ 时，$f'(x) > 0$，函数单调递增； 当 $x > \frac{1}{a}$ 时，$f'(x) < 0$，函数单调递减。 因此 $x = \frac{1}{a}$ 是全局最大值点。
最大值： $$ f_{\max} = f\!\left(\frac{1}{a}\right) = \ln\frac{1}{a} - a \cdot \frac{1}{a} = -\ln a - 1. $$
考虑极限： 当 $x \to 0^+$ 时，$\ln x \to -\infty$，而 $-a x \to 0$，所以 $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty. $$ 当 $x \to +\infty$ 时，$\ln x$ 增长慢于线性项 $-a x$，所以 $$ \lim_{x \to +\infty} f(x) = -\infty. $$
因此，根据最大值符号讨论：
1. 若 $-\ln a - 1 > 0$，即 $\ln a < -1$，亦即 $0 < a < e^{-1}$，则最大值大于零，函数图像先增后减，且两端趋于负无穷，因此与 $x$ 轴有两个交点，方程有两个实根。
2. 若 $-\ln a - 1 = 0$，即 $a = e^{-1}$，则最大值等于零，函数图像与 $x$ 轴恰好相切于一点，方程有一个实根（重根）。
3. 若 $-\ln a - 1 < 0$，即 $a > e^{-1}$，则最大值小于零，函数图像始终在 $x$ 轴下方，方程无实根。
**结论**： - 当 $0 < a < e^{-1}$ 时，方程有两个实根； - 当 $a = e^{-1}$ 时，方程有一个实根； - 当 $a > e^{-1}$ 时，方程没有实根。
难度：★★☆☆☆