人邮高数 第2章 第2-6-6题
📝 题目
6．试问：$a$ 为何值时，函数 $\displaystyle f(x)=a \sin x+\frac{1}{3} \sin 3 x$ 在 $\displaystyle x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值？它是极小值还是极大值？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知函数 $$ f(x)=a\sin x+\frac13\sin 3x $$ 在 $x=\frac{\pi}{3}$ 处取得极值。 极值的必要条件是一阶导数为零。
首先求一阶导数： $$ f'(x)=a\cos x+\frac13\cdot 3\cos 3x = a\cos x+\cos 3x $$ 代入 $x=\frac{\pi}{3}$： $$ f'\left(\frac{\pi}{3}\right)=a\cos\frac{\pi}{3}+\cos\pi $$ 已知 $\cos\frac{\pi}{3}=\frac12$，$\cos\pi=-1$，于是 $$ a\cdot\frac12-1=0 \quad\Rightarrow\quad \frac{a}{2}=1 \quad\Rightarrow\quad a=2 $$
因此当 $a=2$ 时，$x=\frac{\pi}{3}$ 是驻点。
下面判断极值类型，用二阶导数法。 $$ f''(x)=-a\sin x-3\sin 3x $$ 代入 $a=2$ 和 $x=\frac{\pi}{3}$： $$ f''\left(\frac{\pi}{3}\right)=-2\sin\frac{\pi}{3}-3\sin\pi $$ $\sin\frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$，$\sin\pi=0$，所以 $$ f''\left(\frac{\pi}{3}\right)=-2\cdot\frac{\sqrt3}{2}-0=-\sqrt3<0 $$ 二阶导数为负，故该点为极大值。
最终答案： $$ \boxed{a=2,\ \text{极大值}} $$
难度评级：★★☆☆☆ （需要掌握极值必要条件与二阶导数判别法，计算简单，但涉及三角函数的导数与特殊角取值。）