人邮高数 第2章 第2-7-11题
📝 题目
11．某工厂要建造一个容积为 $300 \mathrm{~m}^{3}$ 的带盖圆桶，问：半径 $r$ 和桶高 $h$ 如何确定，才能使所用材料最省？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设圆桶的底面半径为 $ r $（单位：m），高为 $ h $（单位：m），则容积条件为 $$ V = \pi r^{2} h = 300 $$ 由此解出 $$ h = \frac{300}{\pi r^{2}} $$
所用材料即圆桶的表面积（包括上、下底和侧面），其公式为 $$ S = 2\pi r^{2} + 2\pi r h $$ 将 $ h $ 代入，得 $$ S(r) = 2\pi r^{2} + 2\pi r \cdot \frac{300}{\pi r^{2}} = 2\pi r^{2} + \frac{600}{r} $$ 定义域为 $ r > 0 $。
为求最小值，对 $ S(r) $ 求导： $$ S'(r) = \frac{d}{dr}\left( 2\pi r^{2} + 600 r^{-1} \right) = 4\pi r - \frac{600}{r^{2}} $$ 令 $ S'(r) = 0 $： $$ 4\pi r - \frac{600}{r^{2}} = 0 \quad\Rightarrow\quad 4\pi r^{3} = 600 $$ $$ r^{3} = \frac{600}{4\pi} = \frac{150}{\pi} $$ $$ r = \sqrt[3]{\frac{150}{\pi}} $$
此时对应高度 $$ h = \frac{300}{\pi r^{2}} = \frac{300}{\pi \left( \frac{150}{\pi} \right)^{2/3}} = \frac{300}{\pi} \cdot \left( \frac{\pi}{150} \right)^{2/3} $$ 化简： $$ h = 300 \cdot \pi^{-1} \cdot \pi^{2/3} \cdot 150^{-2/3} = 300 \cdot \pi^{-1/3} \cdot 150^{-2/3} $$ 注意到 $ 300 = 2 \times 150 $，因此 $$ h = 2 \cdot 150 \cdot \pi^{-1/3} \cdot 150^{-2/3} = 2 \cdot 150^{1/3} \cdot \pi^{-1/3} = 2 \sqrt[3]{\frac{150}{\pi}} $$ 即 $$ h = 2r $$
检查二阶导数： $$ S''(r) = 4\pi + \frac{1200}{r^{3}} > 0 $$ 故该点为极小值点，也是最小值点。
因此，当半径 $ r = \sqrt[3]{\frac{150}{\pi}} $ 米，高 $ h = 2r $ 时，所用材料最省。
难度：★★☆☆☆